直线与圆的方程(时间：90分钟__分数：120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2015·河南安阳期末，3)x cos α＋y sin α＋1＝0，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的倾斜角为( )A ．α B.π2＋α C ．π－α D.π2－α 【答案】 B 设直线x cos α＋y sin α＋1＝0的倾斜角为θ， 则斜率 k ＝tan θ＝－cos αsin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π2＋α.2．(2015·山西太原二模，3)“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a4x －1垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A 由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×24＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a4＝－1，解得a ＝±2，故选A.3．(2014·吉林长春调研，5)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175 C ．8 D ．2【答案】 D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.故选D. 4．(2015·福建泉州一模，5)已知圆C ：x 2＋y 2＝25，直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6和8，则圆上的点到直线l 的最大值为( )A.245 B ．5 C ．10 D.495【答案】 D 由题意知，直线l 的方程为4x ＋3y －24＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－24|42＋32＝245.故圆上的点到直线l 的最大值为245＋5＝495.易错点拨：解答本题易求出d 后，误选A.5．(2015·河南南阳一模，5)已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 2＋B 2＝C 2，C ≠0)与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，O 是坐标原点，则OM→·ON →＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【答案】 A 因为圆心O 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为|C |A 2＋B 2＝1，所以∠MON ＝2π3，所以OM→·ON →＝|OM →| |ON →|cos ∠MON ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 6．(2014·辽宁沈阳四校联考，8)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( )A ．－33B ．－ 3 C.33 D. 3【答案】 A 依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即有|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12.又θ为锐角，所以sin θ＝32，故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．(2015·湖南岳阳一模，6)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1，0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0【答案】 B 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.思路点拨：解题的关键是用好|PQ |＝23，构建方程求斜率，但要注意斜率不存在的情况． 8．(2015·江西抚州调研，7)已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4，5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133 D ．(－∞，4)【答案】 B 因为f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4，5]．又因为k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4，5]．9．(2013·重庆，7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 【答案】 A 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为2－4，故选A.10．(2014·湖北孝感四校联考，10)已知A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点．如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6【答案】 C 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，∴△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．(2015·安徽淮南一模，13)已知曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行，则a ＝________.【解析】 由已知得y ′＝6x ＋2，则曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝8.根据两直线平行的条件得2a ＝8，故a ＝4.【答案】 412．(2015·天津四校联考，13)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.【解析】 ∵(1－2)2＋(2)2＝3＜4， ∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2，0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22.【答案】 2213．(2012·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．【解析】 x 2＋y 2－8x ＋15＝0化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，该圆的圆心为M (4，0)，半径为1.根据题意，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1即可，所以有d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值是43.【答案】 4314．(2015·福建宁德质检，12)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}．若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 集合A ，B 实际上是圆上的点的集合，即A ，B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆的圆心距不大于两圆半径之和2，即（t －4）2＋（at －2）2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，根据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43三、解答题(共4小题，共50分)15．(12分)(2015·安徽蚌埠质检，18)已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )， （x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，则此曲线的方程为(x －5)2＋y 2＝16. (2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示． 由直线l2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.16．(12分)(2015·河北唐山调研，18)已知定点M (0，2)，N (－2，0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0，2)，N (－2，0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1，1)． 又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2，2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1＞2， 解得k ＜－17或k ＞1. 17．(12分)(2015·山东日照调研，18)已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )． (1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值． 解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝±3.当a ＝3时，点M 为(1，3)， k O M ＝3，k 切＝－33，此时切线方程为y －3＝－33(x －1)，即x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33，此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)，即x －3y －4＝0. 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22)＝4×[5＋216－4（d 21＋d 22）＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210，即|AC |＋|BD |的最大值为210.18．(14分)(2014·江西九江三模，19)已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得|HK |＝|KQ |，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解：(1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2|＝23，∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23， 则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1， ∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，设K (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.∵|HK |＝|KQ |， ∴Q (x 0，2y 0)． ∴|OQ |＝x 20＋（2y 0）2＝2，∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． 又A (－2，0)，∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)． 令x ＝2，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，8y 0x 0＋2. 又B (2，0)，N 为DB 的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2.∴OQ →＝(x 0，2y 0)，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2，2x 0y 0x 0＋2. ∴OQ →·NQ →＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 20x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0（4－x 20）x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0. ∴OQ→⊥NQ →.∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．。