直线与圆的方程综合题、典型题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2rd >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 总结备忘：2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。
解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M由于CM ⊥l ，∴k CM ×k l = －1∴k CM =112-=-+a b ，即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0 CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA == 2)3(92222+--=-=a b CMCB MB，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单 总结备忘：3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-.（II ）当m ＞OB 时,||||m m >⇒>即 13m 13m >-<或.∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.总结备忘：4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。
（6分） ⑵设2111,14B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2221,14C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵0PB BC •= ∴211162x x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭（8分） ∴210x ≥ 或26x ≤- 为求 （12分） 总结备忘：5、将圆02222=-++y x y x 按向量(1,1)a平移得到圆O ，直线l 与圆O 相交于A 、 B 两点，若在圆O 上存在点C ，使0,.OCOAOBOCa 且求直线l 的方程.解：由已知圆的方程为22(1)(1)2x y ， 按(1,1)a 平移得到22:2O x y . ∵(),OC OA OB ∴22()()0OC ABOAOB OBOA OAOB.即OC AB .又OC a ，且(1,1)a，∴1OCk .∴1ABk .设:0AB l x y m， AB 的中点为D.由()2OCOA OB OD ，则2OC OD ，又22,2OCOD.∴O 到AB .22， ∴1m .∴直线l 的方程为：10x y 或10x y -+=.总结备忘：6、已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ，圆C 是OAB ∆的外接圆，过点（2，6）的直线l 被圆所截得的弦长为34 （1）求圆C 的方程及直线l 的方程；（2）设圆N 的方程1)sin 7()cos 74(22=-+--θθy x ，)(R ∈θ，过圆N 上任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE ,，切点为F E ,，求CE CF ⋅的最大值.解：因为)0,8(),32,6(B A ，所以OAB ∆为以OB 为斜边的直角三角形，所以圆C ：16)4(22=+-y x（2）1）斜率不存在时，l ：2=x 被圆截得弦长为34，所以l ：2=x 适合 2）斜率存在时，设l ：)2(6-=-x k y 即026=-+-k y kx因为被圆截得弦长为34，所以圆心到直线距离为2 所以212642=+-+kk k34-=∴k 02634),2(346:=-+--=-∴y x x y l 即综上，l ：2=x 或02634=-+y x （3）设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-．在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||1716PC MC -=-=≥， 所以32cos ≤α， 由此可得916-≤⋅CF CE 则CF CE ⋅的最大值为169-.总结备忘：7、已知圆4)4()3(:22=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A 。
（1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于Q 、P 丙点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与022:2=++y x l 的交点为N ，判断AN AM •是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。
解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1=x ，符合题意。
……2分 ②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为)1(-=x k y ，即0=--k y kx 。
由题意知，圆心)4,3(以已知直线1l 的距离等于半径2，即：21432=+--k k k ，解之得43=k ……5分 所求直线方程是1=x ，0343=--y x ……6分（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为0=--k y kx 由⎩⎨⎧=--=++0022l y kx y x 得)123,1222(+-+-K kK k N ……8分又直线CM 与1l 垂直，由⎪⎩⎪⎨⎧--=--=)3(14x k y kkx y 得)124,134(2222k k k k k k M +++++ ……11分∴22222222)123()11222()124()1134(+-+-+-⋅+++-+++=⋅kk k k kk k k k k AN AM……13分6121311122222=++⋅+++=k k k k k 为定值。
故AN AM ⋅是定值，且为6。
……15分 总结备忘：8、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩…………(3分)则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=………(5分)(Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++=224x y x y +++-=2x y +-,…………………………(7分)所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--, 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= ………(11分)因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)2()1BA B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k 所以,直线AB 和OP 一定平行……………………………………(15分) 总结备忘：9、已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N . （１）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（２）当32=PQ 时，求直线l 的方程； （３）探索AN AM ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.解析：（１）∵l 与m 垂直，且31-=m k ，∴3l k =， 故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+=………2分 ∵圆心坐标（0，3）满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ………………… …4分（２）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意…………………6分②当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ，第17题第17题∵32=PQ ，∴134=-=CM ，………………………………………8分则由11|3|2=++-=k k CM ，得34=k , ∴直线l ：0434=+-y x . 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x ………………………………………10分 （３）∵CM MN ⊥,∴ ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅……12分① 当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5(0,)3AN =-,又(1,3)AC =,∴5AM AN AC AN ⋅=⋅=-………………………………………………………14分 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ， 则由⎩⎨⎧=+++=063)1(y x x k y ，得N （36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313kAN k k --=++∴AM AN AC AN ⋅=⋅=51551313k k k--+=-++ 综上所述，AN AM ⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅AN AM .…………………16分 总结备忘：10、已知圆O 的方程为），，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切。