R I
1
则导纳圆方程变为： 或
2
( x x0 ) ( y y 0 )
2 2
2
x y ax by c 0
2
上式即为最小二乘圆拟合法的数学模型，待识别的参数为a、 b、c。其中： 2 2 2 a 2 x0 , b 2 y 0 , c x0 y 0
T i 1
T
式中：θ
[ 1 2 n ]
T
x [ x1 x 2 x n ]
θ 为待识别参数
x (k ) y (k )
现在，在 s 个观测点得到系统的一组观测数据
对应相同观测点上的理论值完全满足上述方程，即
第六讲 动态系统参数类建模方法
y ( k ) x ( k )θ
（2）模态参数识别
设实际测得主导模态某频响函数在 s 个频率点处的频响函数值 R I 为 H ef ( k ) x k , H ef ( k ) y k ，
第六讲 动态系统参数类建模方法
R I 对应相同频率点处的理论值为 H ef ( k ) x k , H ef ( k ) y k 。
2 k k 1 s 4 k k 1
第 i 阶模态固有频率和阻尼比分别为：
0i
ki / mi
i g i / ki
第六讲 动态系统参数类建模方法
欲求振型矢量，需n个测点的阻抗函数。又：
H ef ( i 1)
I
1 K efi i
构造最小二乘的目标函数：
E

E b
2
s
2 2 2 (x k y k a x k b y k c )
k 1
令：
E a
0,
0,
E c
2 yk yk
0 得a、b、c的最小二乘估计值
xk k y s
1
a xk b xk yk c xk
即 f 坐标激励、e 坐标响应的频响函数。式中： i / 0 i 为频 率比， 0 i k i / m i 为第 i 阶模态的无阻尼固有频率。第 i 阶模 态 e、f 坐标间的等效刚度为： K efi k i / ei fi 显然，对应某 阶模态 i 的等效刚度不是常值，而刚度ki对固定模态是常值。
为使 E 最小，将 E 对θ 求一次偏导，并另其为零，得：
X
T
T ˆ y X Xθ
T 1 (X X )
因为观测矩阵一般为列满秩矩阵，则
ˆ T 1 θ (X X ) X
T
存在，所以可得：
y
如果ε是一个具有零均值的平稳随机过程，例如，白噪声，可 ˆ 以证明，最小二乘估计 θ 是无偏的、有效的和一致的。
E[

,]Fra bibliotek式中： ρm为自相关系数， μ为均值，σ为均方差。
第六讲 动态系统参数类建模方法
若有时间序列{yk}，k=1，….，N，E[yk]= μ 。令zk=yk- μ，则 E[zk]= μ’=0，称为0均值化。 对于AR、MA、ARMA模型，需满足的数学条件是：具有有 理谱密度的平稳时间序列，亦即要求观测时序{zk}是平稳、正 态分布、0均值的序列。 1 AR模型（AR(p) ，Auto Regressive）
第六讲 动态系统参数类建模方法
时序分析建模是建立在输出等价的基础上（亦即模型所描述 的系统与实际系统仅需输出相等）。应用广泛，主要有气象 预报、人口预测、市场预测等。 一 平稳时间序列及其数学模型 若一个时间序列 z1 , z 2 , z k , z k m , ，其统计特性（数学 期望、方差）是不随时间而变化的，称为平稳时间序列。从 波形上看，在时间坐标上其波动是均匀的。从相关系数上考 虑，有 z1 z1 m z2 z2m m E[ , ] E[ , ] zk zk m
Z ( ) K efi (1 i )
R 2
ef
Z ef ( ) K efi (1 i j i )
Z ( ) K efi i
I
ef
由于虚部与ω无关，阻抗方程在由实部和 虚部构成的平面上表示为一根平行于水 平轴的直线，称为阻抗线。可见，阻抗 线与导纳圆等价，但更为简单。
1、 不考虑剩余模态的影响 （1）理论模型
第六讲 动态系统参数类建模方法
设第 i 阶模态为待识别的主导模态，其他模态对主导模态的影 响称为剩余模态。完全忽略其影响，则频响函数变为：
H ef ( ) 2 K efi 1 i j i 1 1
其Nyquist图是一个圆。
2
频响函数亦可用阻抗表示： 其实部和虚部分别为：
第六讲 动态系统参数类建模方法
6.1 最小二乘法 最小二乘法是一类经典、有效的数据处理方法，它的思想是： 未知量的最可能值是这样一个数，它使得各次实际观测值和计 算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数据以后的和为最小。 假设线性时不变系统的数学模型可用含n个参数的线性参数 模型表示： n
y
i xi x θ

( a / 2 ) (b / 2 ) c
第六讲 动态系统参数类建模方法
进一步根据图解法识别其他各种模态参数，如图，a<0,b>0。 最小二乘阻抗线法完全用最小二乘原理 估计模态参数，估计精度高，但未考虑 剩余模态，故结果误差较大；最小二乘 圆拟合法只用最小二乘原理估计出导纳 圆的半径或振型，而其他参量的估计仍 建立在图解法基础上，故精度不高。 由于最小二乘阻抗线法便于编程处理，故 对小阻尼系统或作为多模态识别法迭代的 初始估计，这种方法很具有优越性。

xk yk
x k ( x k2 y k2 ) k ( x k2 y k2 ) y (x2 y2 ) k k
2 2
进而得拟合圆圆心坐标和半径分别为：
x 0 a / 2, y 0 b / 2,
T
( k 1, 2, s )
由于噪声等影响，实测值近似满足模型方程，即
T y ( k ) x ( k )θ ( k ) ( k 1, 2, s )
( k ) 是理论值与实测值之间的误差。
将模型用矩阵形式表示：
y Xθ
y Xθ ε
所以： ε y X θ 是实测模型与理论模型之间的总体误差。
R I
( H ef ( ) H efc ) ( H ef ( )
R R 2 I
1 2 K efi i
H efc ) (
I 2
1 2 K efi i
)
2
第六讲 动态系统参数类建模方法
设：
x H ef ( ), y H ef ( ), 2 K efi i R I x 0 H efc , y 0 H efc
由拟合圆识别参数
第六讲 动态系统参数类建模方法
6.3 时序建模方法 最小二乘类识别法是以描述系统输入与输出因果关系的控制 理论为基础的，但实际问题常遇到如下情况： （1）产生观测数据的系统并不具体，甚至边界也不清楚。 （2）产生观测数据的系统虽然具体，却无法准确获知系统的 输入。 （3）系统输入是可观测的，但系统处于严重的、无法观测的 噪声干扰之中，此时无法采用以控制理论为基础的辨识方法 来建模。 对于上述情形，可采用时间序列分析法建模。按照时间次序 排列的一系列观测数据称为时间序列，分析这种数据序列的 统计方法称为时间序列分析。
第六讲 动态系统参数类建模方法
6.2 最小二乘圆拟合法 最小二乘圆拟合法主要用于单模态识别。所谓单模态识别法是 指一次只识别一阶模态的模态参数，所用数据为该阶模态共振 频率附近的频响函数值。 研究单模态识别法的意义有：1）对模态耦合较小的系统，用 单模态识别法识别出的结果能达到满意精度；2）对模态耦合 较大的系统，需采用多模态识别法，需要进行迭代。用单模 态识别法得到的结果可以作为迭代的初值，大大加快迭代过 程的收敛速度。 最小二乘圆拟合法的基本思想是，根据实测频响函数数据，用 理想导纳圆去拟合实测的导纳圆，并按最小二乘原理使其误差 最小。
阻抗线
第六讲 动态系统参数类建模方法
（2）模态参数识别 对原点频响函数Hff( ω )，令振型归一化为φ fi=1，则Kffi=ki， 所以阻抗方程的实部和虚部变为：
Z
R ff
( ) k i (1 i ) k i m i
2
2
Z
I ff
( ) k i i g i
R ff
( k ) k i m i k
2
( k 1, 2, , s )
实测 Z R ( k ) 与理论值的总方差，即目标函数为： ff
第六讲 动态系统参数类建模方法
E

s
2 2 R ( k i m i k Z ff ( k ))
k 1
令：
E ki

1 Z ef
I
I 而 Z ef 可由最小二乘法利用 s 各测试值求得：
Z ef
I
1
s
s
I Z ef ( k )
k 1
所以由
1 Z ef
I
1 组成的矢量 I Z1 f
1 Z2f
I

1 即为振型矢量。 I Z nf
T
由于上述参数识别理论用到与导纳圆等价的阻抗线，故又称最 小二乘阻抗线法。
第六讲 动态系统参数类建模方法
2 考虑剩余模态的影响 （1）理论模型 在实模态系统中，对剩余模态最简单的处理就是视其频响函 数为常数。此时频响函数可写为：