导数、微积分1、（2012德州二模）如图，在边长为π的正方形内的正弦曲线sin y x x =与轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．21π B ．22πC ．23πD ．24π答案：B解析：区域M 的面积为：S M ＝0sin xdx π⎰＝－cosx 0|π＝2，而正方形的面积为S ＝2π，所以，所求概率为P ＝22π，选B 。

2、（2012济南三模）已知函数2()321f x x x =++，若11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，则a ＝________. 答案：13解析：因为⎠⎛-11f(x)d x ＝⎠⎛-11 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4⇒a ＝－1或a ＝13.3、（2012莱芜3月模拟）函数201()212x x f x x x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】56【解析】65)212(31)2()(21210321122=-+=-+=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f 4、（2012济南三模）已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则32b a --的取值范围是（ ） A ．2(,)5-∞B ．2(,1)5C ．(1,)+∞D ．2(,)(1,)5-∞⋃+∞答案：B解析：因为函数有两个极值，则0)('=x f 有两个不同的根，即0>∆，又b ax x x f 2)('2++=，又)2,1(),1,0(∈∈βα，所以有⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2('0)1('0)0('f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>022402102b a b a b 。

23--a b 的几何意义是指动点),(b a P 到定点)3,2(A 两点斜率的取值范围，做出可行域如图，，由图象可知当直线经过AB 时，斜率最小，此时斜率为522331=---=k ，直线经过AD 时，斜率最大，此时斜率为12130=---=k ，所以12352<--<a b ，选B.5、（2012临沂3月模拟）函数1)(23++-=x x x x f 在点)21(，处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于_________； 【答案】4..3www zxxk com 【解析】函数的导数为12-3)(2+=x x x f ‘，所以212-3)1('=+=f ，即切线方程为)1(22-=-x y ，整理得x y 2=。

由⎩⎨⎧==xy x y 22解得交点坐标为)2,2(),0,0(，所以切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积为34384)31()2(203222=-=-=-⎰x x dx x x 。

6、（2012临沂二模）已知{}()0101x y x y Ω=≤≤≤≤，，，A 是由直线0y =，(01)x a a =<≤和曲线3y x =围成的曲边三角形区域，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率为164，则a 的值是 （A ）164 （B ）18 （C ）14 （D ）12【答案】D【解析】区边三角形的面积为404034141a x dx x a a==⎰，区域Ω的面积为1，若向区域Ω上随机投一点，点落在区域A 内的概率641414=a ，所以1614=a ，所以21=a ，选D.7、（2012青岛二模）设22(13)40a x dx =-+⎰，则二项式26()a x x+展开式中不含．．3x 项的系数和是A ．160-B ．160C ．161D ．161-【答案】C【解析】6)()31(20322-=-=-⎰x x dx x ，所以246-=+-=a ，二项式为62)2(xx -，展开式的通项为k kk k k k k x C xx C T )2()2()(31266261-=-=--+，令3312=-k ，即3=k ，所以33364)2(-=x C T ，所以3x 的系数为1602363-=-C ，令1=x ，得所有项的系数和为1，所以不含3x 项的系数和为161)160(1=--，选C.8、（2012青岛二模）已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①②⑤【解析】由导数图象可知，当01<<-x 或42<<x 时，0)('>x f ，函数单调递增，当20<<x 或54<<x ，0)('<x f ，函数单调递减，当0=x 和4=x ，函数取得极大值2)0(=f ，2)4(=f ，当2=x 时，函数取得极小值)2(f ,所以①正确；②正确；因为在当0=x 和4=x ，函数取得极大值2)0(=f ，2)4(=f ，要使当],1[t x -∈函数)(x f 的最大值是4，当52≤≤t ，所以t 的最大值为5，所以③不正确；由a x f =)(知，因为极小值)2(f 未知，所以无法判断函数a x f y -=)(有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分1)2(<f 或2)2(1<≤f 两种情况，由图象知，函数)(x f y =和a y =的交点个数有0,1,2，3,4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤。

9、（2012青岛3月模拟）直线42+=x y 与抛物线12+=x y 所围成封闭图形的面积是A ．310 B ．316C ．332 D ．16 答案：C【解析】联立方程求得交点分别为()()1,2,3,10.-所以阴影部分的面积为()()321140324210124.233S x dx -=⨯⨯+-+=-=⎰10、（2012日照5月模拟）如图，由曲线x y sin =，直线π23=x 与x 轴围成的阴影部分的面积是（A ）1 （B ）2（C ）22（D ）3 答案：D【解析】由定积分的几何意义，阴影部分的面积等于)3|cos 3-sin 3.(3|cos |cos sin sin 2020230230===+-=-⎰⎰⎰ππππππππx xdx x x xdx xdx 或选D.11、（2012泰安一模）已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ，A 是曲线2x y =与21x y =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 A.31 B.41 C.81 D.121 【答案】D【解析】本题为几何概率.区域Ω的面积为422=⨯.区域A 的面积为313132)3132()(1032310221=-=-=-⎰x x dx x x ，所以点P 落入区域A 的概率为121431==P ，选D.12、（2012滨州二模）已知函数f （x ）＝212x ，g （x ）＝elnx 。

（I ）设函数F （x ）＝f （x ）－g （x ），求F （x ）的单调区间；（II ）若存在常数k ，m ，使得f （x ）≥kx ＋m ，对x ∈R 恒成立，且g （x ）≤kx ＋m ，对x ∈（0，＋∞）恒成立，则称直线y ＝kx ＋m 为函数f （x ）与g （x ）的“分界线”，试问：f （x ）与g （x ）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由。

解析：（I ）由于函数f （x ）＝212x ，g （x ）＝elnx ， 因此，F （x ）＝f （x ）－g （x ）＝212x －elnx ，则'()e F x x x=-＝2x e x -(0,)x ∈+∞，当0＜x '()F x ＜0，所以F （x ）在（0）上是减函数；当x '()F x ＞0，所以F （x ∞）上是增函数；因此，函数F （x ）的单调减区间是（0，＋∞）。

（II ）由（I ）可知，当x F （x ）取得最小值F 0，则f （x ）与g （x ）的图象在x ，2e）。

假设f （x ）与g （x 2e）。

故设其方程为：(2e y k x -=，即2ey kx =+-由f （x ）≥2ekx +-对x ∈R 恒成立，则2220x kx e --+对x ∈R 恒成立，所以，22244(2)484(k e k e e k ∆=-=-=-≤0成立，因此k 2e y =-下面证明g （x 2e-对x ∈（0，＋∞）恒成立，设G （x ）＝ln 2ee x -，则)'()e x G x x x ==，所以当0＜x 时，'()0G x >，当x 时，'()G x ＜0，当x G （x ）取得最大值0，则g （x 2e-对x ∈（0，＋∞）恒成立，故所求“分界线“的方程为：2e y =-13、（2012德州二模）设函数()ln (0),() 2.f x x x x g x x =>=-+ （I ）求函数f （x ）在点(,())M e f e 处的切线方程；（II ）设2()(2)()(0),F x ax a x f x a '=-++>讨论函数()F x 的单调性；（III ）设函数()()()H x f x g x =+，是否同时存在实数m 和()M m M <，使得对每一个[,]t m M ∈，直线1()([,])y t y H x x c e==∈与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

解析：（I ）解：'()f x ＝lnx ＋1（x ＞0），则函数'()f x 在点(,())M e f e 处的斜率为'()f e ＝2，f （e ）＝e ，所以，所求切线方程为y －e ＝2（x －e ），即y ＝2x －e（II ）2()(2)ln 1(0),F x ax a x x x =-+++>212(2)1'()2(2)ax a x F x ax a x x -++=-++=＝(21)(1)(0,0)x ax x a x-->>，令'()F x ＝0，则x ＝12或1a ， ①当0＜a ＜2，即112a >时，令'()F x ＞0，解得0＜x ＜12或x ＞1a令'()F x ＜0，解得12＜x ＜1a所以，F （x ）在（0，12），（1a ，＋∞）上单调递增，在（12，1a ）单调递减。