第八章 空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=.3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得⎪⎩⎪⎨⎧-+++=+-++-+=-+-+222222222222)1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y zy z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,21,0(.7. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ∆的三个顶点，设三角形的重心为E，则),,(31)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=设ABC ∆的同比nm之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为),,(212121mn mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++),,(323232mn mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++),,(131313mn mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++则三角形FGH ∆的重心为,()(31133221mn mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++),133221133221m n mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(31321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积 向量积 1.若3),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=73443cos431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开可得b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为b a b a b a b a b a b a ⋅++=⋅++=+⋅+=+=23241002||||)()(||400222所以242-=⋅b a ，)()(||b a b a b a -⋅-=-b a b a ⋅-+=2||||227824324100=++=.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影.解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，7799916419cos =++⋅++=θ，77arccos=θ. 因为a jb b a b Pr ||=⋅，所以3339Pr ==a jb .5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满足0=++c b a ，计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅.解：因为0)()(=++⋅++c b a c b a ，所以0222||||||222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a ，而1||||||222===c b a ，所以23-=⋅+⋅+⋅a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量. 解：kj i k j i k j i b a c 357122132113112312121-+-=+---=-=⨯=而83)3(5)7(||222=-++-=c ，所以)3,5,7(831--±=c e .7.设)(8,186,5b a b a b a -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.证明：只需证明//.因为b a b a 2)5(2102=+=+=+=，所以//.8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c （1）确定m 的值，使得b a +与c 平行.（2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.解：（1）要使b a +与c 平行，只需0=⨯+c b a )(，因为b a +)3,2,3(-=m ，而c b a ⨯+)()99,0,99(32m m m j --=--=，所以当1=m 时b a +与c 平行.（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=⋅-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，而c b a ⋅-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-⋅---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲面及其方程 1.填空题（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（4222=++z y x ）.2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为心，半径为352的球面. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹. 解：设动点为),,(z y x P ，由题意知222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，整理得0112=-++z y x .4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲面为单叶双曲面. （2）259916222=--z y x . 解：该曲面为双叶双曲面.（3）1254222=++z y x . 解：该曲面为旋转椭球面. （4）x y x 922=-. 解：该曲面为双曲柱面. （5）x z y 922=+. 解：该曲面为椭圆抛物面.（6）0)3()2()1(4222=---+-z y x . 解：该曲面为椭圆锥面.§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题（1）二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=3412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为（⎩⎨⎧=+=222z y x z ），在x O z 面上的投影为（22≤≤z x ），在yOz 面上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影方程为⎩⎨⎧=+-=322022y x x z . 3.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 的柱面方程.解：在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）⎩⎨⎧-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++4922222z x z y x . 解：做变换⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2z x ，将其带入方程9222=++z y x ，即得52=y . 所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=±==θθsin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.5.求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：螺旋线在xOy 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===0sin 2cos 2z y x θθ，直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0422z y x . 螺旋线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03sin 2x z y θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03sin2x z y .螺旋线在zOx 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03cos 2y z x θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03cos2y z x . 6.画出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++1164222z z y x .（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1)2(2222y x y z x . （3）⎪⎩⎪⎨⎧==-4116422y z x .§8.5 平面及其方程 1. 填空题（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为（023=---z y x ）,平面的截距式方程（12232=-+-+z y x ）,平面的一个单位法向量为（)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x 121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面方程.解：该平面的法向量为k j i kj i37521211--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离.解：点),,(0000z y x P =到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式是222000||CB A D Cz By ax d +++++=，因此点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离为1221|10122211|222=++-⨯+⨯+⨯=d .5.求平面052=-+-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.解：所给平面的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平面与xOy 面、yOz 面和zOx 面的夹角为z θ、x θ和y θ，于是=z θcos ||||n k n ⋅611)2(1|110201|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =x θcos ||||n i n ⋅611)2(1|010211|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =y θcos ||||n j n ⋅621)2(1|011201|222=+-+⨯+⨯-⨯=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.解：设所求平面的方程为1=++aya y a x ，由于点)5,4,1(-在平面上，则1541=+-+aa a ，2=a ，所求方程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+⋅++⋅+-⋅z y x ，即2=x . （2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所求平面的法向量为k i k j i201112+-=-，因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-⋅++⋅+-⋅-z y x ，即02=-z x .（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，即01=++z y . §8.6 空间直线及其方程 1. 填空题（1）直线421zy x =-=和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点)0,1,1(-且与直线321123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是（31121-=+=-zy x ）. （3）直线182511+=--=-z y x 与直线⎩⎨⎧=+=-326z y y x 的夹角为（3π）. 2.化直线⎩⎨⎧=++=+-522z y x z y x 为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为k j i k j in n s 3211211121++-=-=⨯=. 取10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为321121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 32121. 3.求过点)3,0,2(且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即21n n n ⨯=)11,14,16(253421-=--=kj i .所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即01111416=+--z y x .4. 求直线⎩⎨⎧=---=-+-01023z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-+=+-+01202z y z y x 夹角的余弦.解：因为两直线的方向向量为k j i kjin 2241111311++=---=，k j i kjin +-=-=232101112，设两直线的夹角为θ，则422151)2(3224|122234|cos 222222=+-+++⨯+⨯-⨯=θ. 5. 求点)5,1,2(P 在直线:L13111-=-=-zy x 上的投影. 解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .将已知直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=tz t y tx 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点)114,111,117(-. 6. 求直线:L ⎩⎨⎧=---=+-083032z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线的方程.解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，即08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得34-=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为⎩⎨⎧=+-=-+1232756z y x z y x . 7.确定λ的值，使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i--==2101012，要使直线L 与平面∏平行，只要0=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L与平面∏之间的距离332)1(11|1)1(11111|222=-++--⨯+⨯-⨯=d . 8.求通过直线⎩⎨⎧=-++=-+-02201:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线111121-=-+=-z y x . 解：设平面束方程为0)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ.设平行于直线111121-=-+=-z y x 的平面为1∏，由0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得41=λ，平面2∏的方程为04543)1(23=+--z y x ，即06536=-+-z y x . 第八章 空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3πθ=，则=-||b a （3）.（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量的模为10，且与x 轴的夹角为6π，与y 轴的夹角为3π，与z 轴的夹角为锐角，则=（) 0 5, , 3(5）.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是（⎩⎨⎧==+0222z a y x ）.（5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是（16)(4222=+-z y x ）.（6）直线z z y y x x 111-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin （222222CB A pn m pC nB mA ++++++）.（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(22=++-+-x z y ）.（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =⨯成立，这样的c有多少个，求其中长度最短的c .解：设=c ),,(z y x ，则 c a⨯y x z y zy kj ++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.由于||c 23)21(2)1(1222++=--++=x x x ，因此，当21-=x 时， 即c )21,1,21(--=长度最短. 3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小.解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x，k j x i x AC AB +-+=---=⨯)1(221101，故A B C ∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(.4. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2222242yx z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在xOy 平面投影为⎩⎨⎧==-04222z y x ；在yOz 平面投影为⎩⎨⎧==-043222x y z ；在zOx 平面投影为⎩⎨⎧==-04322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为C z B y A x ==，即⎪⎩⎪⎨⎧===Ctz Bt y Atx 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(222=+++D t C B A ，解得222C B A Dt ++-=，即直线与平面的交点为),,(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ，则222020C B A AD x ++-=+，222020CB A BDy ++-=+，222020C B A CDz ++-=+，即所求的对称点为)2,2,2(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程.解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj in 232111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为： 0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .7.求球心在直线11212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.解：设球心为),,(z y x ，则222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即02=-+z y x .又因为球心在直线上，直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 122，将直线的参数方程代入02=-+z y x ，可得61-=t ，球心坐标为)67,31,611(-，所求球面方程为665)67()31()611(222=-+++-z y x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，10122:2zy x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程. 解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i k j i43212121--=-.因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x .10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x （1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则21)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-⨯-+⨯-⨯=⋅=n n n n θ，所以3πθ=.（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得222222)2(11|62|)1()1(2|52|-++--+=-+-+---z y x z y x ，即)62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为12=+-z y x 或1133=-z x .（3）设通过两个平面的交线的平面方程为)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐标面，所以00)12(0)1(1)2(=⋅+-⋅-+⋅+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y . 11. 求直线321zy x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解：由于空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=+=+)()()(2222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=-+=+tz t t y x 3)2()(2222，消去参数t ，旋转曲面的方程为22295z y x =+. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,222=+=z y x z . （3）22224,y x z y x z --=+=. （4）2222,2y x z y x z +=--=.（5）222y x z +=，22x z -=. （6）2x y =，0=z ，y z =，1=y .。