43第 7 章 弯曲强度7－1 直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为 M 的力偶作用，如图所示。

若已知变形后中性层的曲率半径为 ρ ；材料的弹性模量为 E 。

根据 d 、 ρ 、E 可以求得梁所承受 的力偶矩 M 。

现在有 4 种答案，请判断哪一种是正确的。

(A)M ＝E π d 习题 7－1 图(B) 64ρ M ＝64 ρ(C) E π d 4 M ＝E π d(D)32 ρ M ＝ 32ρ E π d 3正确答案是 A 。

7－2关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下 4 种答案，请判断哪一种是正确的。

(A) 细长梁、弹性范围内加载； (B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。

正确答案是 C _。

7－3 长度相同、承受同样的均布载荷 q 作用的梁，有图中所示的 4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。

l 5习题 7－3 图正确答案是 d 。

7－4 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。

图中的尺寸单位为 mm 。

求：梁的 1－1 截面上 A 、−⎜ ⎟ A I zB 两点的正应力。

习题 7－4 图解：1. 计算梁的 1－1 截面上的弯矩：M = ⎛1×103N ×1m+600N/m ×1m ×1m ⎞ =−1300 N ⋅ m ⎝2 ⎠ 2. 确定梁的 1－1 截面上 A 、B 两点的正应力：A 点：⎛150 ×10−3 m ⎞ 1300 N ⋅ m ×⎜− 20 ×10−3m ⎟ σ = M z y = ⎝ 2 ⎠＝2.54×106 Pa = 2.54 MPa (拉应力) I zB 点：100 ×10-3m ×(150 ×10-3m )3121300N ⋅ m ×⎜ 0.150m − 0.04m ⎟⎛ ⎞ σ = M z y ⎝ 2 ⎠ =1.62 ×106 Pa =1.62MPa(压应力) B ()127－5 简支梁如图所示。

试求I-I 截面上A 、B 两点处的正应力，并画出该截面上的正应力 分布图。

习题 7－5 图A(a)A(b)F R R B解：（1）求支座约束力F RA = 3.64kN,F RB = 4.36kN习题 7－5 解图（2）求I －I 截面的弯矩值（见习题7－5解图b ）M I −I = 3.64kN ⋅ m（3）求所求点正应力σ = M I-I y AI z33 I = bh z12= 75 ×150 12= 21.1×106 mm 4 y A = (75 − 40) = 35mm 6∴σ = − 3.64 ×10 ×35 = −6.04MPaA 21.1×1066σ = 3.64 ×10 × 75 =12.94MPa B 21.1×1067－6 加热炉炉前机械操作装置如图所示，图中的尺寸单位为 mm 。

其操作臂由两根无缝 钢管所组成。

外伸端装有夹具，夹具与所夹持钢料的总重 F P ＝2200 N ，平均分配到两根钢管上。

求：梁内最大正应力（不考虑钢管自重）。

3习题 7－6 图解：1． 计算最大弯矩：−3 3M max = −2200N × 2395 ×10 m= −5.269 ×10 N ⋅ m2． 确定最大正应力：σ = M max = M max, α = 66mm = 0.611 max 32Wσ = M max =2 × πD 32 (1 −α 4 )5.268 N ⋅ m108mm = 24.71×106 Pa=24.71 MPa max2W =π (1= 08 ×10−3 m ) 2 × (1 − 0.6114 ) 327－7 图示矩形截面简支梁，承受均布载荷 q 作用。

若已知 q ＝2 kN/m ，l ＝3 m ，h ＝2b＝240 mm 。

试求：截面竖放(图 c)和横放(图 b)时梁内的最大正应力，并加以比较。

习题 7－7 图解：1．计算最大弯矩：ql 22 ×103N/m ×(3m )2M max = = = 2.25 ×103 N ⋅ m8 82．确定最大正应力： 3平放： σ= M max = 2.25 ×10 N ⋅ m × 6= 3.91×106 Pa=3.91 MPamax 2−3 −3 2hb 6240 ×10 m ×(120 ×10 m)4⎝⎠竖放：σ= M max = 2.25 ×103 N ⋅ m ×6=1.95 ×106 Pa=1.95 MPamax2−3 −3 2bh 6120 ×10 m ×(240 ×10 m )3．比较平放与竖放时的最大正应力：σmax (平放) σmax (竖放) 3.91 1.95≈ 2.07－8 圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。

图中尺寸单位为 mm 。

已知 F P ＝10kN ，q ＝5kN/m ，许用应力 [σ ]＝140 MPa ，试校核梁的强度。

M解：画弯矩图如图所示：习题 7－8 图3σ ( ) Mmax1 = 32 ×30.65 ×10 N ⋅ m = 113.8 ×106 Pa=113.8 MPa< [σ ] max 实＝ W 1π (140 ×10-3m )3σ ( ) M max2 = 32 × 20 ×103 N ⋅ m = 100.3 ×106 Pa=100.3 MPa< [σ ] max 空＝ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤W 2 π (140 ×10-3m )3 ⎢1 −⎢⎣ 100⎜140 ⎟ ⎥ 所以，梁的强度是安全的。

7－9 悬臂梁 AB 受力如图所示，其中 F P ＝10 kN ，M ＝70 kN ·m ，a ＝3 m 。

梁横截面的形状及尺寸均示于图中(单位为 mm)，C 为截面形心，截面对中性轴的惯性矩 I z ＝1.02×108 mm 4，拉伸许用应力 [σ ]＋＝40 MPa ， 压缩许用应力 [σ ]－＝120 MPa 。

试校核梁的强度是否安全。

解：画弯矩图如图所示：σ σ σ σM (kN.m)C 截面习题 7－9 图3 −3+ max = 30 ×10 N ⋅ m ×96.4 ×10 m = 28.35 ×106Pa=28.35 MPa 1.02 ×108 ×10−12 m 43 −3D 截面－ max = 30 ×10 N ⋅ m ×153.6 ×10 m = 45.17 ×106 Pa=45.17 MPa 1.02 ×108 ×10−12 m 43 −3+max = 40 ×10 N ⋅m ×153.6 ×10 m = 60.24 ×106 Pa=60.24 MPa> [σ ] 1.02 ×108 ×10−12 m 43 −3－ max = 40 ×10 N ⋅ m ×96.4 ×10 m = 37.8 ×106 Pa=37.8 MPa 1.02 ×108 ×10−12 m 4所以，梁的强度不安全。

7－10 由 No.10 号工字钢制成的 ABD 梁，左端 A 处为固定铰链支座，B 点处用铰链与钢 制圆截面杆 BC 连接，BC 杆在 C 处用铰链悬挂。

已知圆截面杆直径 d ＝20 mm ，梁和杆的许用 应力均为 [σ ]＝160 MPa ，试求:结构的许用均布载荷集度 [q ]。

Mmax P习题 7－10 图解：画弯矩图如图所示：对于梁：M max = 0.5qσ = M max ≤ [σ ], 0.5q ≤ [σ ] maxW W [σ ]W 160 ×106 × 49 ×10−6q ≤ = = 15.68 ×103 N/m=15.68 kN/m0.5 0.5对于杆：σ = F N ≤ [σ ],4F B = 4 × 2.25q ≤ [σ ] maxA πd 2 πd 2πd 2×[σ ] π ×(20 ×10-3 )2×160 ×106 q ≤== 22.34 ×103 N/m=22.34 kN/m4 × 2.254 × 2.25所以结构的许可载荷为[q ]= 15.68 kN/m7－11 图示外伸梁承受集中载荷 F P 作用，尺寸如图所示。

已知 F P ＝20 kN ，许用应力 [σ ]＝160 MPa ，试选择工字钢的号码。

习题 7－11 图解：M = F ×1m=20×103 N ×1m=20 ×103 N ⋅ mσmax = M max W ≤ [σ ],F ×1m 20 ×103 ×1m W ≥ P= = 0.125 ×10－3 m 3＝125 cm 3[σ ] 所以，选择 No.16 工字钢。

160 ×106Pa7－12 图示之 AB 为简支梁，当载荷 F P 直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正应 力超过许用应力 30％。

为减小 AB 梁内的最大正应力，在 AB 梁配置一辅助梁 CD ，CD 也可以看作是简支梁。

试求辅助梁的长度 a 。

解： 1．没有辅助梁时σmax= M max ≤ [σ ], W F P l 4 = 1.30 [σ ] Wσmax = Mmax ≤ [σ ], W F P l(3 − 2a ) 2 = [σ ] W F P l (3 − 2a ) F P l2 = 4 = [σ ] W 1.30 ×W 1.30 ×(3 − 2a ) = 3 a = 1.384 m7－13 一跳板左端铰接，中间为可移动支承。

为使体重不同的跳水者站在跳板前端在跳板中所产生的最大弯矩M zmax 均相同，问距离 a 应怎样变化?习题 7－13 图解：最大弯矩发生在可移动简支点B 处。