圆锥曲线求最值范围问题一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。

常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b+< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。

若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。

（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。

3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点： （1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 过点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；例2：已知椭圆()22:10C a b a b+=>>的离心率为2，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为（1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当2PA PB -<t 的取值范围例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，且在所（1）求椭圆方程；（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,E F （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围例4：已知椭圆()122:10C a b a b+=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率13e =，左焦点为1F ，椭圆上的点到1F 距离的最大值为8（1）求椭圆C 的方程；（2）在（1）的条件下，过点N 的直线l 与圆2236x y +=交于,G H两点，l 与点C 的轨迹交于,P Q 两点，且GH ⎡∈⎣，求椭圆的弦RQ 长的取值范围例6：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的两个焦点12,F F ，动点P 在椭圆上，且使得190F PF ∠=的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为22+（1）求椭圆1C 的方程（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线22x =-上的动点T ，作圆2C 的两条切线，设切点分别为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点,C D ，求AB CD的取值范围例7：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且离心率12e =（1）求椭圆方程；（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,08G ⎛⎫⎪⎝⎭，求k 的取值范围例8：在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ;（2）当8=AB 时，设圆)0)1(:222>=-+r r y x D （,若存在且仅存在两条动弦AB ,满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？例9：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为15，12,F F 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且12PF F 的周长是8215+ （1）求椭圆C 的方程 （2）设圆()224:9T x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于,E F 两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率和取值范围例10：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其中12,F F 为左右焦点，且离心率为33e =，直线l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y ，当直线l 过椭圆C 右焦点2F 且倾斜角为4π时，原点O 到直线l 的距离为22（1）求椭圆C 的方程（2）若OP OQ ON +=，当OPQ 的面积为62时，求ON PQ ⋅的最大值三、历年好题精选1、已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12PF PF OP+的取值范围是（ ）A. []0,6B. (2,6⎤⎦C. 16,22⎛⎤⎥⎝⎦ D.60,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、（2015，新课标I ）已知()00,M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）A. 33,33⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 33,66⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 2222,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 2323,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3、（2014，四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______4、（2016，广东省四校第二次联考）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ） A.3 B. 1 C. 23D. 2 5、（2016，贵州模拟）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 是线段2QF 的中点，若果2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()0,2M 的直线1l 与椭圆C 交于,G H 两点，且MG MH >.若实数λ满足MG MH λ=，求1λλ+的取值范围.6、（2015，山东理）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q①求||||OQ OP 的值；②求ABQ ∆面积最大值. 7、（2014，四川）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 （1）求椭圆C 的标准方程（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q① 证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）② 当TF PQ最小时，求点T 的坐标8、（2014，湖南）如图，O 为坐标原点，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且 （1）求12,C C 的方程（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦,AB M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值9、（2014，山东）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形 （1）求C 的方程（2）若直线1l l ∥，且1l 和C 有且只有一个公共点E ① 证明直线AE 过定点，并求出定点坐标②ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.11、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2 （1）若椭圆C 经过点)1,26(，求椭圆C 的方程； （2）设()2,0A -，F 为椭圆C 的左焦点，若椭圆C 存在点P ，满足2=PFPA，求椭圆C 的离心率的取值范围；12、已知定点)0,3(),0,3(21F F -，曲线C 是使||||21RF RF +为定值的点R 的轨迹，曲线C 过点)1,0(T . （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 过点2F ，且与曲线C 交于PQ ，当PQ F 1∆的面积取得最大值时，求直线l 的方程；（3）设点P 是曲线C 上除长轴端点外的任一点，连接1PF 、2PF ，设21PF F ∠的角平分线PM 交曲线C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.x____________________________________________________________________________________________________ 13、已知圆(222:M x y r +=(0)r >,若椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为圆M的圆心，离心率为2． （1）求椭圆C 的方程； （2）若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于,A B 两点，与圆M 分别交于,G H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 的半径r 的取值范围．14、已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆的内切圆面积的最大值为43π. (1) 求椭圆的方程；(2) 若,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1FC 共线，1F B 与1F D 共 线，且0AC BD ⋅=，求||||AC BD +的取值范围.。