圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知12,F F 分别是双曲线2222x ya b-=l （a>0，b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若 01290F PF ∠=,且21PF F ∆的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的。

（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l的距离为2，求△AOB 面积的最大值．90.解：设n PF m PF ==||,||21，不妨P 在第一象限，则由已知得,065.22,)2(,222222=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-c ac a m c n c n m a n m ,0562=+-∴e e解得15==e e 或（舍去）。

设椭圆离心率为.3655,=''e e 则 .36='∴e可设椭圆的方程为.,12222c b y a x '='+'半焦距为⎪⎩⎪⎨⎧='='='⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧'='+'='+'=''∴.2,1,3.,3,3622222c b a a c b c b a c 解之得 .1322=+∴y x 椭的方程为 （Ⅱ）①当AB .3||,=⊥AB x 轴时②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为),(),,(,2211y x B y x A m kx y +=，由已知,231||2=+k m 得m kx y k m +=+=把),1(4322代入椭圆方程，整理得,0336)13(222=-+++m kmx x k .13)1(3,1362221221+-=+-=+∴k m x x k km x x21222))(1(||x x k AB -+=∴]13)1(12)13(36)[1(2222222+--++=k m k m k k222222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12+++=+-++=k k k k m k k)0(61912316912322222≠+++=+++=k kk k k k .4632123=+⨯+≤当且仅当33,1922±==k k k 即时等号成立，此时.2||=AB③当.3||,0==AB k 时综上所述：2||max =AB ，85.已知曲线C 的方程为22x y =，F 为焦点。

（1）过曲线上C 一点00(,)P x y （00x ≠）的切线l 与y 轴交于A ，试探究|AF|与|PF|之间的关系；（2）若在（1）的条件下P 点的横坐标02x =，点N 在y 轴上，且|PN|等于点P 到直线210y +=的距离，圆M 能覆盖三角形APN ，当圆M 的面积最小时，求圆M 的方程。

85.74.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为21，21,F F 分别为其左右焦点．一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切．(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆1C 的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹C 的方程；(Ⅱ) 在曲线C 上有四个不同的点Q P N M ,,,，满足2MF 与2NF 共线，2PF 与2QF 共线，且022=⋅MF PF ，求四边形PMQN 面积的最小值．74.解：(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得3122142222=-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧===c a b c a a c e a ， 则所求椭圆方程134:221=+y x C . (ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为)0,1(，准线方程为1-=x ，则动圆圆心轨迹方程为x y C 4:2=. (Ⅱ)由题设知直线PQ MN ,的斜率均存在且不为零设直线MN 的斜率为)0(≠k k ，),(),,(2211y x N y x M ，则直线MN 的方程为：)1(-=x k y联立x y C 4:2= 消去y 可得0)42(2222=++-k x k x k 由抛物线定义可知:22221224424211||||||kk k x x NF MF MN +=++=+++=+= 同理可得244||k PQ += 又32)12(8)44)(44(21||||212222≥++=++=⋅=kk k k PQ MN S PMQN (当且仅当1±=k 时取到等号)所以四边形PMQN 面积的最小值为32.69.如图，已知直线l ：2y kx =-与抛物线C ：22(0)x py p =->交于A ，B 两点，O 为坐标原点，(4,12)OA OB +=--。

（Ⅰ）求直线l 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积最大值． 69.解：（Ⅰ）由22,2y kx x py=-⎧⎨=-⎩得,2240,x pkx p +-=设()()1,122,,,A x y B x y则()21212122,424,x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--因为()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---=()4,12,--所以224,2412.pk pk -=-⎧⎨--=-⎩解得 1,2.p k =⎧⎨=⎩ 所以直线l 的方程为22,y x =-抛物线C 的方程为22.x y =-（Ⅱ）方法1：设00(,),P x y 依题意，抛物线过P 的切线与l 平行时，△APB 面积最大，'y x =-，所以0022,x x -=⇒=- 20012,2y x =-=-所以(2,2).P --此时P 到直线l的距离d ===由222,2,y x x y =-⎧⎨=-⎩得，2440,x x +-=||AB ===∴△ABP的面积最大值为52=（Ⅱ）方法2：由222,2,y x x y =-⎧⎨=-⎩得，2440,x x +-=||AB ===9分设21(,)2P t t -，(22t --<-+因为AB 为定值，当P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，d ==因为22t --<<-+2t =-时，d max=5，此时(2,2).P -- ∴△ABP的面积最大值为52=66.椭圆x y b a by a x =>>=+直线倍的长轴为短轴的,3)0(12222与椭圆交于A 、B 两点，C 为椭圆的右项点，.23=⋅ （I ）求椭圆的方程；（II ）若椭圆上两点E 、F 使OEF ∆∈=+求),2,0(,λλ面积的最大值66.解：（I ）根据题意，),0,(,3a C b a = 设A .1,0),,(2222=+>bt a t t t t 则①②解得,23,43222222b t b ba b a t ==+=即,2332323),0,(),23,23(2===⋅==∴b ab a b,3,1==∴a b.1322=+∴y x 椭圆方程为（Ⅱ）设),,(),,(),,(002211y x M EF y x F y x E 中点为 ,OA OF OE λ=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=∴,232,232210210λλy y y x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,13,13,,22222121y x y x F E 则在椭圆上由①-②得,0322212221=-+-y y x x ,313121212121=++⨯-=--=∴y y x x x x y y k EF∴直线EF 的方程为),43(3143λλ--=-x y 即13,3322=++-=y x y x 代入λ并整理得，,0132422=-+-λλy y ,41,2322121-==+∴λλy y y y||10)()(||21221221y y y y x x EF -=-+-=∴,24102)1(4310222λλλ-⋅=--⋅=又,103)0,0(λ=h EF O 的距离为到直线原点 443||212λλ-==∴∆h EF S OEF,232443)4(432222=-+⨯≤-=λλλλ 当.23,2面积的最大值为所以时等号成立OEF ∆=λ63.已知椭圆C 22:14y x +=，过点M (0, 1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B . （Ⅰ）若l 与x 轴相交于点P ，且P 为AM 的中点，求直线l 的方程； （Ⅱ）设点1(0,)2N ，求||NA NB +的最大值. 63. （Ⅰ）解：设A (x 1, y 1)，因为P 为AM 的中点，且P 的纵坐标为0，M 的纵坐标为1，所以1102y +=，解得11y =-，又因为点A (x 1, y 1)在椭圆C 上，所以221114y x +=，即21114x +=，解得1x = 则点A 的坐标为1)-或(1)-，所以直线l 的方程为330y -+=，或330y +-=.（Ⅱ）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则112211(,),(,),22NA x y NB x y =-=- 所以1212(,1)NA NB x x y y +=++-，则||(NA NB x +=当直线AB 的斜率不存在时，其方程为0x =，(0,2),(0,2)A B -，此时||1NA NB +=； 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，由题设可得A 、B 的坐标是方程组22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解，消去y 得22(4)230k x kx ++-= 所以221222(2)12(4)0,4kk k x x k-∆=++>+=+， 则121228(1)(1)4y y kx kx k +=+++=+， 所以222222222812||()(1)1144(4)k k NA NB k k k --+=+-=+≤+++， 当0k =时，等号成立, 即此时||NA NB +取得最大值1.综上，当直线AB 的方程为0x =或1y =时，||NA NB +有最大值1.50.已知点A是抛物线y 2＝2px （p>0）上一点，F 为抛物线的焦点，准线l 与x 轴交于点K ，已知｜AK ｜AF ｜，三角形AFK 的面积等于8．（1）求p 的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与抛物线相交得两条弦，两条弦 的中点分别为G ，H.求｜GH ｜的最小值． 50.解：（Ⅰ）设()00,A x y ， 因为抛物线的焦点,0,,,0,222p p p F l x K AM l M ⎛⎫⎛⎫=--⊥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭准线的方程为：作于，则0,2pAM x AF =+=AK AF AK AKM =∆又得，即为等腰直角三角形， 00000,,222p p p KM AM x y x A x x ⎛⎫∴==+∴=++⎪⎝⎭,即，而点A 在抛物线上， 20002,,.222p p p x px x A p ⎛⎫⎛⎫∴+=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是.又20118, 4.222AFKp S KF y p p p ∆=⋅=⋅⋅==∴=故所求抛物线的方程为28y x =.6分 （2）由x y 82=，得)0,2(F ，显然直线1l ，2l 的斜率都存在且都不为0. 设1l 的方程为)2(-=x k y ，则2l 的方程为)2(1--=x ky .48.椭圆的中心为原点O ，焦点在y 轴上，离心率3e =，过(0,1)P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，且2AP PB =，求AOB ∆面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程． 48.解：设椭圆的方程为),0(12222>>=+b a bx a y 直线l 的方程为1+=kx y ，),(),(2211y x B y x A 、 222231,3236a b a c e ==∴=， 则椭圆方程可化为132222=+bx b y 即22233b y x =+，联立⎩⎨⎧+==+133222kx y b y x 得0312)3(222=-+++b kx x k （*）有,32221k k x x +-=+而由已知PB AP 2=有212x x -=，代入得2232k kx += 所以23||32||33||3||23||||212221=≤+==-⨯⨯=∆k k k k x x x OP S AOB ， 当且仅当3±=k 时取等号由2232k k x +=得332±=x ，将⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==333,333x k x k 代入（*）式得352=b 所以AOB ∆面积的最大值为23，取得最大值时椭圆的方程为135522=+x y 46.已知椭圆22122:10)x y C a b a b+=>>（的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆222:(3)1C x y +-=的一条直径，若与AF 平行且在y 轴上的截距为32-的直线l 恰好与圆2C 相切。