3-1 题图3-1所示的阻容网络中，i ()[1()1(30)](V)u t t t =--。
当t =4s 时，输出o ()u t 值为多少？当t 为30s 时，输出u o (t )又约为多少？解：661(s)1111(s)1110410141o i U sCU RCs s R sC -====+⨯⨯⨯+++(4)0.632(V)o u ≈，(30)1(V)o u ≈3-2 某系统传递函数为21()56s s s s +Φ=++，试求其单位脉冲响应函数。
解：2(s)112(s)5623o i X s X s s s s +-==+++++ 其单位脉冲响应函数为23(t)(e 2e )1()t t x t δ--=-+⋅3-3 某网络如图3-3所示，当t ≤0-时，开关与触点1接触；当t ≥0+时，开关与触点2接触。
试求输出响应表达式，并画出输出响应曲线。
1V题图3-1 题图3-3解：1(s)11(s)2121()o i R U RCs s sCU RCs s R R sC++===++++01(t)1(2)1()(V)i i i u u u t =+=+-⋅1111212(s)(s)121212o i s s U U s s s ss ++-===-+++ 则21(t)(e 2)1()(V)t o u t -=-⋅1201(t)1(e 2)1()(V)o o o u u u t -=+=+-⋅其输出响应曲线如图3-3所示图3-3 题图3-43-4 题图3-4所示系统中，若忽略小的时间常数，可认为1d 0.5()d yB s x-=∆。
其中，ΔB 为阀芯位移，单位为cm ，令a =b （ΔB 在堵死油路时为零）。
(1) 试画出系统函数方块图，并求(s)(s)Y X 。
(2) 当i ()[0.51()0.51(4)1(40)]cm x t t t s t s =⨯+⨯---时，试求t =0s,4s,8s,40s,400s 时的y (t )值，()B ∆∞为多少？ (3) 试画出x (t )和y (t )的波形。
解：（1）依题意可画出如图3-4所示的系统函数方块图，图3-4-1则10.5(s)1210.5X(s)4112Y sss⨯==++⨯（2）该一阶惯性环节的时间常数为4(s)T=当(t)[0.51()0.51(4)1(40)](cm)x t t t=⋅+⋅---时，(0)0(cm)y=(4)0.50.6320.316(cm)y≈⨯=(8)0.50.8660.50.6320.749(cm)y≈⨯+⨯=(40)1(cm)y≈(400)0(cm)y≈()0(cm)B∆∞=（3）x(t)和y(t)的波形如图3-4-2(a)、(b)所示。
图3-4-23-5 设单位反馈系统的开环传递函数为4()(s5)G ss=+，试求该系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解：系统闭环传递函数为24(s)44(s5)4(s)54(s1)(s4)1(s5)oiX sX s ss+===++++++(1)当()1()ix t t=时，1()iX ss=41()41133()()()(4)(1)14o o i i X s X s X s X s s s s s s s ===-+++++g则441()1()1()1()33t t o x t t e t e t --=-⋅+⋅(2)当()()i x t t δ=时，()1i X s =44(s)433(s)(s)1(s)(s 4)(s 1)14o o i i X X X X s s ==⨯=-++++则44()()1()3tt o x t e e t --=-⋅ 3-6 设单位反馈系统的开环传递函数为1()(s 1)G s s =+，试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。
当()(s 1)KG s s =+时，试分析放大倍数K 对单位阶跃输入产生的输出动态过程特性的影响。
解：（1）2221(s)1(s 1)1(s)20.5111(s 1)o i X s X s s s +==+⨯⨯+++ 得1(rad/s)n ω=则0.5ζ=s)d ωω===arccos arccos0.5(rad)3πθζ===所以2.418(s)r t ππ-=≈3.628(s)r d t πω==≈16.3%p M ee==≈336(s)10.5r n t ωζ≈==⨯（进入5%误差带） （2）222(s)(s 1)1(s)12(s 1)o i KX s K X s s +==++++ 得s)n ω=则ζ=s)2d ωω===arccos θζ==则（Ⅰ）当1ζ==时，即14K =时，系统为临界阻尼，系统不产生振荡。
（Ⅱ）当1ζ=>时，即14K <时，系统为过阻尼，系统不产生振荡。
（Ⅲ）当0ζ==时，即K =∞时，系统为零阻尼，系统产生振荡。
（Ⅳ）当01ζ<<，即14K <<∞时，系统为欠阻尼，此时2r dt πθω-== K 增大时，r t 减小。
2p dt πω==K 增大时，p t 减小。
p M eee===K 增大时，p M 也增大。
336(s)1s n t ωζ===当K 较大时，s t 基本不受K 变化的影响。
3-7 已知一系统由下述微分方程描述：10x y dtdy2dt y d 2<<=++ξξ， 当x (t )=1(t )时，试求最大超调量。
解：将微分方程两边取拉氏变换得2(s)2sY(s)Y(s)X(s)s Y ζ++=则2(s)1(s)21Y X s s ζ=++，01ζ<<max ()|()()p y t y M ey -∞==∞3-8 设有一系统的传递函数为222()2nn nωG s s ξωs ω=++，为使系统对阶跃响应有5%的超调量和2 s 的调整时间，试求ζ和n ω。
解：510032ne ζω⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩ 解之，得0.69ζ≈， 2.2(rad/s)n ω=3-9 证明对于题图3-9所示系统，o i (s)(s)X X 在右半s 平面上有零点，当x i (t )为单位阶跃时，求y (t )。
解：(s)642(s 1)(s)21(s 1)(2)Y X s s s -=-=++++由上式可见，s=1是系统在右半s 平面的零点。
当(t)1(t)x =时2(s 1)1431(s)(s 1)(s 2)12Y s s s s-==--++++则2(t)(4e 3e 1)1(t)t t y --=--⋅3-10 设一单位反馈系统的开环传递函数为10()(s 1)G s s =+，该系统的阻尼比为0.157，无阻尼自振角频率为3.16 rad/s ，现将系统改变为如题图3-10所示，使阻尼比为0.5。
试确定n K 值。
题图3-9 题图3-10解: 10(s)(s 1)10(1K s)(s)1(s 1)o n i X s X s +=+++222210(110K )s 103.16(110K )s 3.16n n s s =+++=+++依题意，有110220.5 3.16 3.16n n K ζω+==⨯⨯= 解之，得0.216n K =，即为所求。
3-11 二阶系统在s 平面中有一对复数共轭极点，试在s 平面中画出与下列指标相应的极点可能分布的区域：(1) n 0.7072rad /s ξω≥>，； (2) n 00.7072rad /s ξω≤≤≤，； (3) 00.5ξ≤≤，n 2rad /s 4rad /s ω≤≤；(4) n 00.7072rad /s ξω≤≤≤，。
解：（1）所求区域为图3-11(a)中阴影部分。
（2）所求区域为图3-11(b)中阴影部分。
（3）所求区域为图3-11(c)中阴影部分。
（4）所求区域为图3-11(d)中阴影部分。
(a) (b)(c) (d)图3-113-12 设一系统如题图3-12(a)所示。
(1) 当控制器c ()1G s =时，求单位阶跃输入时系统的响应。
设初始条件为零，讨论L 和J 对响应的影响。
(2) 设c d ()1s G s T =+，J =1000，为使系统为临界阻尼，求d T 值。
(3) 现在要求得到一个没有过调的响应，输入函数形式如题图3-12(b)所示。
设c ()1G s =，L 和J 参数同前，求K 和t 1。
i ()X s +-()o X s 2s LJ c ()G s ()E s U(a)tx o (t )tx i (t )10K t 1t(b) 题图3-12解：（1）222(s)(s)1o i L L X Js J L L X s Js J==++则211(s)o L JX Ls s s J ==-+对上式进行拉氏反变换，得(t)1(t)1(t)o X =-⋅由此可知，其单位阶跃响应为等幅振荡，当L 增大、J 减小时，角频率ω增大。
（2）22(1T s)(s)(s)1(1T s)d o i d LX Js L X Js +==++为使系统为临界阻尼，需使1ζ=，即20d T === 由（1）知(s)(s)o i X X =当(t)1(t)i x =时(t)(11(t)o x =-⋅所以110t π==== 另有1(1)(1)[1)]1K K t t -+---= 当110t t π==，10L =，1000J =代入上式，得[(110)](1)[10]1K πK -+--= 解之，得0.5K =3-13 题图3-13所示为宇宙飞船姿态控制系统方块图。
假设系统中控制器时间常数T =3 s ，力矩与惯量比为22rad /9K s J =。
试求系统阻尼比。
题图3-13解：221(1)(s)1(s)1(1)o i K Ts X Js X K Ts Js+=++(1)KTs +=则3220.7072292T KJζ===≈3-14 设一伺服电动机的传递函数为()()1s KU s TsΩ=+。
假定电动机以ω的恒定速度转动，当电动机的控制电压u o突然降到0时，试求其速度响应方程式。
解：电动机的控制电压如图3-14所示图3-1422()()111o o oU KU KUK Ks U sTs Ts s ssT-Ω===-+++则2()(1)1()tTot KU e tω-=-⋅又有10()ot KUωω==所以120()()()1()tTt t t e tωωωω-=+=⋅3-15 对于题图3-15所示的系统，如果将阶跃输入iθ作用于该系统，试确定表述角度位置0θ的方程式。
假定该系统为欠阻尼系统，初始状态静止。
iθokJD题图3-15解：依题意，有[()()]()()o o i o K t t D t J t θθθθ•••--=得2()()o i t Kt Js Ds Kθθ==++则n ω=ζ= 所以，当()1()i t a t θ=⋅时()[1arccos )]1()n t o t a t ζωθωζ-=-+⋅2[1sin(1()2Dt Ja t J -=-+⋅3-16 某系统如题图3-16所示，试求单位阶跃响应的最大超调量M p 、上升时间t r 和调整时间t s 。