(1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
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在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
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此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
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（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
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（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
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d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外
，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
式中， 是非拟稳点的未知参数， 是拟稳点的未知参数。这样
拟稳平差是在
和
求定未知参数的最佳估
值。 2020/7/9
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由上可知，三种秩亏自由网平差均遵循
的原则，对
于同一平差问题，它们将有相同的法方程，三种自由网平差的解
均能满足法方程式(1-7-6)，它它们都是这一相同法方程多组解
中的一个特解。它们之间的不同只是由于各自对解向量x所加的
必须对法方程作适当变动。将式(1-7-12)中第二个方程左乘后再
加到第一个方程上去，即得变形后的法方程为
式中，
(1-7-13)
解法方程，得
(1-7-14)
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(1-7-15) 可以证明（证明略），当G满足条件BG=0时，连系数向量K必
等于零。故可简化为
(1-7-16)
将代入式(1-7-11)，可求得V，再根据
即可求得个未
知参数的平差值 需要说明的是，在实际计算时，附加阵G不仅
要满足BG=0的条件，还要满足条件
(1-7-17)
测绘数据处理
测绘工程教研室 土地科学技术学院
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一、自由网平差概述
在控制网的经典间接平差中，必须具有足够的起算数据 。例如，在水准网的间接平差中，必须至少已知某一点的高程 ；在测角网的间接平差中，必须至少已知某一点的坐标、某一 条边的坐标方位角即某一条边的边长，等等。下面将讨论无起
算数据的平差方法，即自由网平差。 当网中有足够的起算数据时，经典间接平差的误差方程为
限制条件不同引起的，即由于各自所加的最小范数条件不同，因
此得到了不同的解向量。
由于秩亏网平差与拟稳平差都是加权秩亏网平差的特殊情况，
其区别仅在于各自选择了不同的先验权阵 。所以我们将先介
绍加权秩亏网平差，然后再介绍秩亏网平差和拟稳平差。自由网
平差的方法很多，本节我们只介绍附加条件法。
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参数的个数为u,误差方程为
(1-7(1-7-6) 由于det(N)=0,故N为奇异阵，其凯利逆 不存在，此时如 仍按经典平差公式接，将不可能得出唯一的解。 令B的列满秩数为 （B）,B的实际秩数为R(B)， d= (B)-R(B),d即为秩亏数。对于法方程系数矩阵N，必然也 有d=(N)-R(N). 如果d=0,就是经典平差问题；当d 时，就是所谓的秩亏 自由网平差问题。 在实用上，产生秩亏得主要原因是不设起算数据，而且选定 网中高程、坐标等作为平差的未知参数，所以秩亏自由网平差 也叫无固定数据的的自由网平差，简称自由网平差。 具体问题中矩阵B或N的秩亏数d，虽然可以通过计算R(B)或 R(N)求出，实际上并不需要这样做，究其原因可知，秩亏数
四、加权秩亏自由网平差
（一）平差计算公式 加权秩亏网平差就是求相容法方程： (1-7-8) 的加权最小范数解。
附加条件法的基本思想是：由于网中没有起始数据，平差时多 选了d个未知参数。现在u个未知参数之间适当给定d个附加条件
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式，即在平差问题的函数模型中加入d个未知参数的限制条件
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三、自由网平差基准
（一）经典自由网平差基准 实际上是固定某个实际的点的位置，固定一个实际的方位角
，一条实际的边长等来定义的。 （二）秩亏自由网平差基准
与经典的自由网不同，秩亏自由网平差基准是通过对整个网 点的坐标或部分网点的坐标进行某种约束（条件）来定义的，这 种约束实际上是固定某个虚拟点的位置，固定某个虚拟方向、虚 拟距离等。
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对三维网，这种约束将要求： .平差前后网点重心不变（即固定重心点坐标）； .平差前后控制网相对其重心不绕X、Y、Z轴旋转（即固定重心 与所有网点连线的平均方位角与天顶距）； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的 平均距离）。 对平面网，这种约束将要求： .平差前后网点重心坐标不变； .平差前后各网点与重心连心的平均方位角不变； .平差前后所有网点相对重心的平均距离不变（即固定与重心的