m T
图 1 水准网
( 6) 解 : 取各点近似高程为 H 1 = 0, H 2 = 12. 345m, H 3 = 15. 823m 误差方程为 v1 v2 = v3 法方程为 - 1 0 1 1 - 1 0 0 1 - 1 x1 x2 = x3 x1 x2 x3 6 0 - 6 0 0 6
0 0 0
2
秩亏自由网的直接解法
根据广义逆理论 , N^ x - W = 0 虽然有无穷多组
解, 但它有唯一的最小范数解 , 即: xr = N m W ^ 式中 N
- 1 m -1
( 5)
= N ( NN )
T
T
-
为矩阵 N 的最 小范数逆。
T T -
代入 ( 5) 式得 : x r = N ( NN ) W ^ 公式 ( 5) , 其最小范数解却是唯一的。 下面对最小范数解的唯一性给出了证明: 设有 两个最小范数逆 N m 1 和 N m2 , 相应的最小范数解为 X1 = N m1 A Pl ,
m
1
6 - 3 - 3 - 3 6 - 3 - 3 - 3 6
为验证不同最小范数逆得出相同的最小范数解, 用 两种方法计算( NN ) 从而得出两个不同的 N m 。 1) 因 R ( N ) = 2, R ( NN ) = 2, 在 NN 中取左上 角二阶行列式不为零的子阵并求逆得 - 3 , - 3 6 6
T
6 - 3 - 3 6 - 3 - 3 1 0 - 1
则
0 1 - 1 使 R ( B ) = R ( C ) = R ( NN ) = 2。 B
-1 L
C=
= ( B B)
T
-1
1 9 0 - 9 B = 81 0 9 - 9
T -1
C R = C ( CC ) 于是 ( NN ) = C B
-1 R - 1 L
自由 网平差的直接解法 , 然后提出了最小范数逆不唯一而 最小范数解唯一的特性 , 并对该唯一 性进行了 证明 , 最 后 通过对水准网进行解算 , 验证了该唯一性的正确 性。 关键词 秩亏自由网平差 最小范数解 唯一性
Analysis of Uniqueness of Minimum Norm Solution in Rank Deficient Free Network Adjustment
-1
T
T
- 1 1 = - 1 2 3 - 1 - 1
2
2 - 1 - 1 1 = - 1 2 - 1 27 - 1 - 1 2
N
m
2
2 - 1 - 1 1 = N ( NN ) = - 1 2 - 1 9 - 1 - 1 2
-
( 上接第 21 页 ) 参考文献
1 彭伟 , 吴剑锋 , 吴 吉春 . NPGA - GW 在地 下水系 统多 目标 优化管理中 的应用 . 高校地质学报 , 2008, 14( 4) : 631~ 636 2 Tan C C, Tung C P, Chen C H. An integrated optimization al gorithm for parameter structure identification in groundwater modeling. Advances in Water Resources, 2008, 31( 3) : 545~ 560 3 McKinney D C, L in M D. Genetic algorithm solution of ground water management problems. Water Resources Research, 1994, 30( 6) : 1897~ 1906 4 Zheng C, Wang P P. A field demonstration of the simulation optimization approach for remediation system design. Ground Water, 2002, 40 ( 3) : 258~ 265 5 邵 景力 , 魏加 华 , 崔亚 莉 , 等 . 用 遗传 算法 求解 地下 水资 源管理 模 型 . 地 球 科 学 中 国 地 质 大 学 学 报 , 1998, 23 ( 5) : 532~ 536 6 吴剑锋 , 朱学愚 , 刘建立 . 基于 遗传算法 的模拟退火 罚函 数方法 求解地下水 管理模型 . 中国 科学 ( E 辑 ) , 1999, 29 ( 5) : 474~ 480
22
勘
察
科
学
技
术
2011 年第 1 期
秩亏自由网平差中最小范数解的唯一性分析
王 帅
1, 2
高井祥
1
( 1. 中国矿业大学 江苏省资源环境信息工程重点实验室 2. 中国矿业大学国土环 境与灾害监测国家测绘局重点实验室
江苏 徐州 江苏 徐州
221116 221116)
提 要
为分 析秩亏自由网平差最小范数解的唯一性 , 该文 首先介 绍了秩亏 自由网 平差方 法的原 理 , 给 出了秩 亏
-
-
T
- N 2 ) A Pl = O
T
m
T
M=
N m1 A Pl - N m2 A Pl = O
T
24 M
-1
勘 1 6 3 1 2 = = 27 3 6 9 1
-
察
科
学 故
技
术 X = N m1 A l = X = N m2 A l =
T T
2011 年第 1 期 2 0 - 2 2 0 - 2
Wang Shuai Gao Jingxiang ( 1. Jiangsu Key Laboratory of Resources and Environmental Information Engineering, China University of Mining and Technology 2. Key Laboratory for Land Environment and Disaster Monitoring of SBSM, China University of Mining and Technology) Abstract To analyze the uniqueness of minimum norm solut ion in rank deficient free network adjustment, this article first introduces the principle of rank deficient free network adjustment, a direct method of rank defect free net adjustment is given, then proposes the characterist ics of minimum norm inverse is not unique, but mini mum norm solution unique, and the uniqueness is proved. Finally, through the solution of leveling network, the correctness of uniqueness is verified. Keywords rank deficient free network adjustment; minimum norm solution; uniqueness 误差方程 , 此时的坐标参数个数比间接平差相应参 数多了 d 个, d 就是间接平差中必要起始数据的个 数。在这种情况下 , 误差方程为 ,
1 陶本藻 . 自由网平差 与变形 分析 . 武汉 : 武 汉测绘 科技 大 学出版社 , 2001 2 崔希璋 , 於宗俦 , 陶本藻 , 等 . 广义测量平 差 . 武 汉 : 武汉 大 学出版社 , 2009 3 武汉大学测绘学 院测量 平差学 科组 . 误差 理论与 测量 平 差基础 . 武汉 : 武汉大学出版社 , 2003 4 黄维彬 . 近代 平 差理 论及 其 应用 . 北 京 : 解 放军 出 版社 , 1992 5 香铁定 , 周世 健 , 官 云兰 , 等 . 秩亏 自由 网 的一 种直 接 解 法 . 矿山测量 , 2001, ( 2) : 41~ 43 6 张书毕 , 单世坤 , 王坚 . 秩亏自由网逐次平差及 其应用 . 测 绘通报 , 2001, ( 8) : 26~ 28
最小范数逆并不唯一, 但不论哪个最小范数逆代入
X 2 = N m 2 A Pl
-
T
因为最小范数逆满足下列两个方程 : NN N = N ( N N) 所以 N = ( NN N ) = ( N N ) N = N NN N 即
m
1
m
T
= N N
m T T m T T
m
T
m
T
NN = N ,
-
T
T
N
m
V = nBu u^ x 1 - n l1
( 4)
式中 u 为网中全部点坐标参数的个数, 系数阵的秩 R ( B ) = t < u , 秩亏数 d = u - t , 按最小二乘原理, V PV= min, P 为非奇异 , 所得法方程为 N^ x= W W= B PB, R ( N ) = t < u , N 奇异 , 法方程具有无
T T
2011 年第 1 期 穷多组解。
勘 察
科
学
技
术 N m 1 A Pl = N m2 A Pl
T T
23
所以 数解唯一。
不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要 的起算数据的个数。即有 : d = 1, 水准网 3, 测边网, 边角网, 导线网 4, 测角网 在控制网秩亏的情况下, 法方程有解但不唯一。 也就是说仅满足最小二乘准则 , 仍无法求得 ^ x 的唯 一解, 这就是秩亏 网平差与经典平 差的根本区别。 为求得唯一解, 还必须增加新的约束条件, 来达到求 唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二 乘 V PV= min 和最小范数 ^ x^ x = min 的条件下 , 求 参数一组最佳估值的平差方法。