秩亏自由网平差的研究刘 阳（江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ）摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bbN B PB 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解.本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。
关键词：秩亏自由网；平差；间接平差Research Rank Defect Free NetworkAdjustmentLiuyang(School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116)Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters.The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary.Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison引言在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。
1 秩亏自由网平差1.1 秩亏自由网平差的提出在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B 总是列满秩的，即R(B)=t （t 为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩t B R PB B R N R T bb ===)()()( 法方程具有唯一解.在图（1）水准网中,假定3P 的高程已知为3H ，待定点1P 、2P 的高程平差值为0111ˆˆX X x =+，0222ˆˆX X x =+.各段路线长度为S ，高差为等权观测，误差方程32312131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=- 图（1） 的显式为1112223310ˆ11ˆ01v l x v l x v l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦法方程及其显式为ˆT T B BxB l = 1122ˆ21ˆ12xw x w -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦在误差方程系数阵B 中，存在一个二阶行列式不等于零，如10111=-，故B 的秩R （B ）=2，即B 为列满秩阵.由此法方程系数的秩R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解为1ˆ()T T x B B B l -= 这就是经典自由网平差情况.上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：先设3P 点的平差值0333ˆˆX X x =+，参与列误差方程，然后另033ˆX X =，将3ˆ0x =作为参数的条件方程，于是其函数模型为33313131ˆVxl B ⨯⨯⨯⨯=-13310ˆT C x⨯⨯= 式中[]001T C =,其显式为111222333ˆ101ˆ110ˆ011v x l v x l v x l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123ˆˆ0010ˆxx x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （即3ˆ0x =） 可见俩种模型等价，平差结果相同.在这种情况下，误差方程的行列式等于零，即1011100011--=-其中有二阶行列式不等于零，故R(B)=2，数2为网中必要观测数，B 为秩亏阵，其列亏数d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式，转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.秩亏自由网的法方程系数阵N 奇异，即0N =,故N 的凯利逆1N -不存在，法方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题.产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以d 就是网中必要起算数据的个数。
1.水准控制网：水准观测值是两个控制点之间的高差。
为了确定水准网中各水准点的高程，就必须至少有一个已知高程点作为全网起算数据。
所以，水准网的基准数据的个数 1=d 。
2平面测角三角网：要推导各待定点的坐标，就必须有一个起算点坐标，还需要一个起算方位和一条起算边，或者有两个起算点坐标。
所以，测角三角网的基准数据个数d =4。
2.测边三角网、边角同测三角网和导线网：必要起算数据有一个点的两个坐标和一个方位角，即这三种控制网的基准数据个数d =3。
3.三维控制网：三维控制网需要一个起算点（Z Y X ,,）、三个已知定向角（Z Y X ααα,,）和一条空间已知边长布S ，即需要7个起算数据；如果三维控制网中的观测值包括空间边长，则必要起算数据的个数为6，即三维控制网的基准 d =7（不含空间边长观测值），或d =6(含空间边长观测值)。
4.GPS 控制网：为确定各待定点在空间坐标系中的三维坐标（Z Y X ,,），GPS 控制网的必要起算数据只为一个点的三维坐标，所以GPS 控制网得基准数为d =3。
1.2 秩亏自由网附加条件平差原理附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d 个未知参数，因此在u 个参数之间必定满足d 个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d 个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。
秩亏自由网平差的函数模型为 u t R n u u n n <=+=)(,1,1,,1,B ΔX B L （1-1）B 的列亏数t u d -=，随机模型为12020-==P Q D σσ （1-2）按最小二乘原理min =PV V T ，P 为非奇异，法方程具有无穷多组解。
一般，为了获得未知数参数的惟一解，给定基准条件为 0ˆ1=⨯⨯⨯u u u T ud x P S（1-3）式中d R =)(S ，而且0=BS （1-4） 左乘P B T ，即得0=NS （1-5）T S 行满秩，表示（1-5）式中d 个方程互不相关，条件（1-4）表示所增加的d 个条件与误差方程互独立。
由（1-5）式知，S 是矩阵N 的d 个零特征值所对应的d 个互不相关的特征向量所构成的矩阵，可由N 的特征值方程求出。
x P 称为基准权，x P 不同取值反映了所取的基准约束不相同，亦即x P 对应了所选的基准。
按最小二乘原理，令函数()m i n ˆ2=+=x P S K PV V x T T T ϕ （1-6） 得法方程为0xP S W SK P x N ==+ˆˆx T x （1-7）将上式中第一式左乘T S ，顾及（1-4）和（1-5）式得0SK P S =x T （1-8） 因二次型S P S x T 不能为零，故必有0K = （1-9） 于是（1-6）式为m i n ==PV V T ϕ 可见，秩亏自由网平差的最小二乘原则与未知参数附加的基准约束无关，亦即 PV V T 是一个不变量，平差所得的改正数V 不因所取基准约束不同而异，这是一个重要性质。
将（1-7）中的第二式左乘S P x 后与第一式相加，顾及0K =，可得()W x P SS P N =+ˆx T x （1-10） 系数阵满秩，令()1-+=x T x P P SS P N Q （1-11）则参数估计为W Q x p =ˆ （1-12）按协因数传播律，xˆ的协因数为()()Tx T x T p x x S S P S S P S S Q Q 11ˆˆ---= （1-13）若令()1-=S P S S G x T （1-14）则可得T p x x GG Q Q -=ˆˆ（1-15） 单位权方差估计为)(ˆ20B PVV R n T -=σ （1-16）1.2.1 附加矩阵的S 具体形式由上面的公式可以看出附加矩阵S 的具体形式为 一维的水准网，秩亏数 d=1()1111T mS ⨯=⋅⋅⋅三维GPS 网，秩亏数 d=3()3333331TmS E E E ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅二维测边网，秩亏数d=3320000011221010100111Tmmm SY X Y X Y X ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥-⋅⋅⋅⎣⎦二维测角网秩亏数 d=4000004211220000001122101010010101Tmmm mm SY X Y X Y X X Y X Y X Y ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥=⎢⎥--⋅⋅⋅-⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦以上均假设控制点总网点数为m.1.2.1 附加矩阵S 的确定方法在附加阵S 已知的条件下，采用附加条件法进行秩亏自由网平差计算与经典方法一致。