求导
ˆ T P 2 K T N 0 得到 K N 1P X ˆ 2X 1 X1 11 11 X 1 1 ˆ1 x
ˆ T P 2K T N 0 得到 X ˆ Q N K 2X 2 X2 12 2 X 2 21 X 2
于是
1 ˆ ˆ X 2 QX 2 N 21 N11 PX1 X 1
V BT ( BBT ) 1W
BR BT ( BBT ) 1
右逆
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 2、广义逆（generalized Inverse)
设A是m×n矩阵，秩R（A）＝r<=min(m,n), 如果G满足如下方程，
AGA A
定义为A的广义逆，G为n×m矩阵，并记为 A 一般不唯一。
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
4、秩亏网平差方法分类（根据约束条件）
加权最小二乘最小范数解
V T PV min ˆTP X ˆ min X
X
最小二乘最小范数解
逆稳平差
V T PV min ˆTX ˆ min X
ˆ X ˆ 1 X ˆ X 2 V T PV min ˆ TX ˆ min X 2 2
关于向量范数（Norm of Vector) ——范数是比长度更广泛的概念
设
X ( x1, x2 xn )
1-范数
X xi
i 1
n
X
p
( xi )1/ p
i 1
n
p
p-范数
X

( x x x )
2 1 2 2
2 1/ 2 n
X
T 1/ 2 ( X AX ) A
结论1：最小二乘原则与附加条件无关， V T PV 是不变量
结论2：附加约束解与最小范数解一致
结论3：令P＝I，Px＝I
Q11 ( N GGT )1
可以证明Q11是N的伪逆。
P176——例4－2
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
3、转换法（Transformed From Classical Estimation）
二、加权秩亏网平差解法
2、附加约束解（Estimation given by Constraints）
ˆ U 0 NX
d t T ˆ 0 G PX X t t
联立法方程和约束条件
(2)式左乘 易得
ˆ 0 PX G 得到 PX GGT PX X
ˆ U 0 ( N PX GGT PX ) X
ˆ N X ˆ N 21 X 1 22 2 U 2 0
无唯一解
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
3、转换法（Transformed From Classical Estimation）
给定约束条件
ˆ PX ˆ X 1 ˆ P X ˆ X ˆ ˆ 1 X X ˆ X P ˆ X 2 X 2 ˆ T Pˆ X ˆ X ˆ T Pˆ X ˆ min X 1 1 2 2 X X
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 3、伪逆（Pseudo Inverse , Moore-Penrose)
如果有 A 满足
AA A A
A AA A



( AA )T AA
( A A)T A A
伪逆是唯一的
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
数学模型 估值
L AX
PI
ˆ ( AT A) 1 AT L X
AL ( AT A) 1 AT
左逆
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 1、左逆和右逆（Left and Right Inverse)
数学模型 改正数
BV W 0
PI
T 1 T 1 QX GG P ) ˆ ( N PX GG PX ) N ( N P X X
ˆ ( N P GGT P ) 1U X X X
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
2、附加约束解（Estimation given by Constraints）
二、加权秩亏网平差解法
4、直接解法（设Px＝I）
V A1
A列满秩，令

ˆ X A2 1 L ˆ X 2
Байду номын сангаас

ˆ L1 L A2 X 2
得到 解得
ˆ L V A1 X 1 1
ˆ N 1 AT PL N 1 AT P(L A X ˆ ) X 1 11 1 1 11 1 2 2
将A矩阵分块
A A1 nt0 A2 nd
R( A) R( A1 ) t 0 t d
A1矩阵列满秩
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
3、转换法（Transformed From Classical Estimation）
则 令 于是
K ( NQX N ) U
P

ˆ Q N ( NQ N ) AT PL X P X X
T
A QX N ( NQX N ) A P
ˆ X P AP L
T QX A Q ( A ˆ P P)
P
注意： Px 是基准权，不是先验权。X不是随机参数
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
T T 1 T 2
1 2


构造极值函数
X X 2K ( N11 X1 N12 X 2 U1 ) X P ˆT ˆ ˆ ˆ T
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
3、转换法（Transformed From Classical Estimation）
则
ˆ ( N N M ) 1U [ N ( I N 1 N M )]1U X 1 11 12 1 11 11 12 1
1 1 ( I N11 N12 M ) 1 N11 U1
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
3、转换法（Transformed From Classical Estimation）
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
3、各种网的基准数（necessary Datum）
水准网：1个点的高程 二维水平网
测角网：4个（2个坐标，1个方位角，1个边长） 测边网，边角同测网：3个（2个坐标，1个方位角）
三维空间网：区分各种情况（7，6，3等）
GPS网在WGS84坐标系中平差，需3个位置基准； 在其它坐标系中，所需基准数有变化。
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
1、Introduction
2、Free Net Adjustment
3、Quasi-Stable Adjustment
4、Datum of Adjustment
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 1、左逆和右逆（Left and Right Inverse)
1 11
1 ˆ (N 1N )T N 1 AT PL 0 N12 )T (N11 N12 ) I T I X 2 11 12 11 1

上式有唯一解。令
R N11 N11
可解得
1 T ˆ X 2 N21 ( R N12 N21 ) A1 PL 1 T ˆ X1 N11 (R N12 N21 ) A1 PL
1、最小范数法（Minimum Norm）
特例 令 于是
PX I , P I
ˆ N ( N N ) AT L A L X r
QX N ( NN ) N ( NN ) N N ˆ
r
为等精度观测的普通秩亏网平差解（P117——水准网例题）
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
2-范数
加权范数、椭圆范数
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
1、自由网平差综合模型
L AX
nt
E ( L) AX
2 2 1 0 Q 0 P
If If
R( A) t ，Full rank G-M model R( A) q t ，Deficiency G-M model
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
1、最小范数法（Minimum Norm） 2、附加约束法 3、转换法 4、直接解法
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
二、加权秩亏网平差解法
1、最小范数法（Minimum Norm）
ˆ L V AX
函数模型
约束条件
V T PV min ˆTP X ˆ min X
X
由
ˆ U 0 V T PV min NX
ˆTP X ˆ 2K T ( NX ˆ U ) min X X
目标函数
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
1、最小范数法（Minimum Norm） X ˆ X 2 K N 0 X P PX NK Q X NK 2X P ˆ ˆ T T 1 求导