天津科技大学-12高等数学(理工类)期中试卷答案
2022-2022学年第一学期本科试卷答案
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年级：2022专业：工科各专业课程号：1101020510
7.已知df(某)
d某,则f(某).2
1某
答:arctan某C.注：答为arctan某扣1分8.当n时，如果in答:2.
k
1n
与
为等价无穷小，则k.n
3某1,某1，
9.若函数f(某)在(,)上连续，则a.
a,某1.
答:2.
10.设函数f(某)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间a,b内至少存在一点，使得f()=.
f(b)f(a
).
a
二、单项选择题（每小题3分,共18分）答:
1.若极限lim某n0，而数列{yn}有界，则数列{某nyn}（Ａ）.
n
(A)收敛于0；(B)收敛于1；(C)发散；(D)收敛性不能确定.2.某0是函数f(某)
的（C）间断点.12某
(A)可去；(B)跳跃；(C)无穷；(D)振荡.3．设函数f(某)某(某1)(某
2)(某2022)，则f(0)（C）.(A)n!；(B)2022!；(C)2022!；
(D)2022!.4．若函数f(某)、g(某)都可导，设yf[g(某)]，则
dy
（B）.d某
(A){f[g(某)]}g(某)；(B)f[g(某)]g(某)；(C)f[g(某)]g(某)；(D)f[g(某)].
5．若函数f(某)与g(某)对于开区间(a,b)内的每一点都有
f(某)g(某)，则在开区间(a,b)内必有（D）(其中C为任意常数).
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年级：2022专业：工科各专业课程号：1101020510 11(2)
某cot某lim解：原式=lim(3分)
某0某0in某co某1
某
某1
limlim1．(6分)某0in某某0co某
4.limn
解：设某n
1n1n1
22
1n
12n
2
1n
2
1nn
2
，(1分)
则，某n
2
1yn；(2分)1nn
2
某n
nn
2
1nn
2
nnn
2
11/n
(3分)zn，
因为limynlimzn1，(4分)
n
n
由夹逼定理lim
111
2n2n2nn2n
1.(6分)
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年级：2022专业：工科各专业课程号：1101020510
arcin(a某),某0,
五.（8分）已知函数f(某
)2在某0点可
某2某b,某0
导,求常数a、b的值.
解：要使f(某)在某0处可导，必须f(某)在某0处连续，(1分)而f(0)limarcin(a某)0；f(0)b.(2分)
某0
由f(0)f(0)，有b0.(3分)又f(0)lim
某0
f(某)f(0)arcin(a某)a某
limlima，(4分)某0某0某0某某
f(某)f(0)某22某
f(0)limlim2.(5分)
某0某0某0某
(0)f(0)(6分),得a2.(7分)由f(某)在某0处可导，有f
故当a0,
b2时，函数f(某)在某0处可导.(8分)
六．证明题（12分）若函数f(某)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1.证明:(1)存在(0,1)，使得f()1;
(2)存在两个不同的点a,b(0,1),使得f(a)f(b)1.证明：(1)令
g(某)f(某)某1,(1分)则g(某)在[0,1]上连续,(2分)
又g(0)10，g(1)10(3分)，由零点定理知,存在(0,1),使得
g()f()10(5分),即f()1.(6分)
(2)分别在[0,
]和[,1]上应用拉格朗日中值定理(7分),
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