一、平方根1.定义:如果有一个数r,使得r2=a,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根.2.记法与读法:正数a的平方根可以用“±”来表示,读作“正、负根号a”.3.平方根的性质如果r是正数a的一个平方根,那么a的平方根有且只有两个:r与,0的平方根是0;负数没有平方根.二、算术平方根1.正数a的叫作a的算术平方根.2.记法与读法:正数a的算术平方根用“”来表示,读作“根号a”.三、开平方1.定义:求一个非负数的平方根的运算,叫作开平方.2.开平方与互为逆运算.四、无理数定义:小数叫作无理数.探究一:平方根的求法【例1】判断下列各数是否有平方根,若有,求出它们的平方根.(1)2;(2)-2;(3)0;(4)-2.【导学探究】因为2,0,-2都是数,所以(填“有”或“没有”)平方根,-20,所以(填“有”或“没有”)平方根.变式训练1-1:(2013资阳)16的平方根是()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8变式训练1-2:下列说法中,正确的是()(A)9的平方根是-3(B)-25的平方根是-5(C)任何一个非负数的平方根都是非负数(D)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数变式训练1-3:一个数的平方根是±8,则比这个数大36的数的平方根是.探究二:算术平方根的求法【例2】求下列各数的算术平方根.(1)(-3.9)2;(2)0.81;(3)12.【导学探究】对于(1)应先计算(-3.9)2=,再计算它的算术平方根.对于(3)应把带分数化成.变式训练2-1:(2013珠海)4的算术平方根是()(A)-2 (B)2 (C)±2 (D)±4变式训练2-2:下面四个数中,没有算术平方根的是()(A)|-2|(B)(-2)2(C)-(D)-变式训练2-3:求下列各数的算术平方根.(1)100;(2)1;(3);(4)0.0081;(5)0.探究三:无理数的概念【例3】下列数:1.732,,3.14,-π,,,0.101001000100001…,哪些是无理数,哪些是有理数?【导学探究】无理数常有三种形式,(1)开方开不尽的数,如;(2)无限不循环小数,如0.101001000100001…;(3)关于π的一些数,如.变式训练3-1:(2013常州)在下列数中,无理数是()(A)2 (B)3.14(C)-(D)变式训练3-2:四个数-1,0,,中为无理数的是()(A)-1 (B)0 (C)(D)1.(2013淄博)9的算术平方根是()(A)(B)±(C)3 (D)±32.的平方根是()(A)±4 (B)4 (C)±2 (D)23.(2013毕节)下列数中:0,-π,,,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),其中无理数的个数为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.已知:一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是.5.计算下列各式的值:(1)-;(2)-+;(3)×---×.1.(2013哈尔滨)的平方根是()(A)3 (B)±3 (C)(D)±2.若正方形的边长为a,面积为S,则()(A)S的平方根是a(B)a是S的算术平方根(C)a=±(D)S=3.(2013安顺)下列各数中:3.14159,,-3π,0.131131113…,-,无理数的个数为()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个4.若m是169的正的平方根,n是121的负的平方根,则(m+n)2的平方根为()(A)2 (B)4 (C)±2 (D)±4的解,则2m-n的算术平方根为() 5.已知,是二元一次方程组-(A)±2 (B)(C)2 (D)46.(2013南充改编)0.49的算术平方根的相反数是.7.算术平方根等于它本身的数是.8.(2013昭通)下列数中:,,-8,,中的无理数是.9.求下列各数的平方根与算术平方根.(1)2.89;(2);(3)172-82.10.自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9 t2,一个铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间?一、立方根1.定义如果一个数b,使得b3=a,那么我们把b叫作a的一个立方根,也叫作三次方根.2.表示和读法a的立方根记作,读作“立方根号a”或“三次根号a”.3.立方根的意义一个正数有一个的立方根,一个负数有一个的立方根,0的立方根是.二、开立方1.定义:求一个数的的运算,叫作开立方.2.性质:开立方与互为逆运算.探究一:立方根的求法【例1】求下列各数的立方根.(1)-8;(2)8;(3)-;(4)0.216;(5)0.【导学探究】任何实数立方根;如果b3=a,那么b叫作a的.变式训练1-1:下列等式成立的是()(A)=±1 (B)=15(C)-=-5 (D)-=-3变式训练1-2:若一个数的平方根是±8,则这个数的立方根是()(A)±2 (B)±4 (C)2 (D)4变式训练1-3:求下列各式的值:(1);(2)-;(3)--.探究二:立方根的应用【例2】求下列各式中x的值:(1)(x+3)3+27=0;(2)(x-0.5)3+103=0.【导学探究】1.把(x+3)3+27=0,移项得(x+3)3=.2.把(x-0.5)3+103=0,移项得(x-0.5)3=.再利用立方根的定义分别求出x的值.变式训练2-1:如图,数轴上点A表示的是()(A)4的平方根(B)4的立方根(C)8的算术平方根(D)8的立方根变式训练2-2:一个正方体的水晶砖,体积为100 cm3,它的棱长大约在() (A)4 cm~5 cm之间(B)5 cm~6 cm之间(C)6 cm~7 cm之间(D)7 cm~8 cm之间变式训练2-3:求下列各式中x的值:(1)8x3=125;(2)(x-1)3=-8.1.(2013永州)运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求+的近似值,其按键顺序正确的是()(A)(B(C)(D2.下列各式计算正确的是()(A)=±2 (B)=3(C)-=2 (D)--=-2m+3n的立方根3.(2013咸宁)已知是二元一次方程组-的解,则为.4.若一个偶数的立方根比2大,平方根比4小,则这个数是.5.已知第一个立方体纸盒的棱长是6厘米,第二个立方体纸盒的体积比第一个立方体纸盒的体积大127立方厘米,求第二个纸盒的棱长.1.下列说法中,不正确的是()(A)8的立方根是2 (B)-8的立方根是-2 (C)0的立方根是0 (D)125的立方根是±52.若=-,则a的值为()(A)(B)-(C)±(D)3.比较2,,的大小,正确的是()(A)2<<(B)2<<(C)<2<(D)<<24.一个数的立方根是它本身,则这个数是()(A)0 (B)1,0(C)1,-1 (D)1,-1或05.的立方根是()(A)2 (B)±2 (C)8 (D)±86.(2013泉州)的立方根是.7.的小数部分可表示为.8.若的立方根是2,则x=.9.求下列各式中的x的值:(1)8x3+1=0;(2)(x+3)3+64=0;(3)=5;(4)2x3-6=.10.已知16x2=9,y3=8,求x+y的值.一、实数的定义与分类1.定义: 和 统称为实数.2.分类(1)实数分正实数, ,负实数; (2)实数有理数整数 小数或无限循环小数无理数 无限不循环小数二、实数与数轴的关系每一个实数都可以用 上唯一的一个点来表示.反过来,数轴上每一个点都表示唯一的一个 ,简洁地说成:实数和数轴上的点 . 三、实数的有关概念及性质1.实数a 的相反数是 ,倒数是 (a ≠0).2.设a 表示一个实数,则|a|=-四、实数的运算有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍成立.探究一:实数与数轴【例1】 若将三个数-, , 表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 . 【导学探究】由4<7<9,得 < < ,即 在墨迹覆盖范围内. 变式训练1-1:(2013台州)若实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列式子成立的是() (A)ac>bc(B)ab>cb(C)a+c>b+c(D)a+b>c+b变式训练1-2:如图,在数轴上点A和点B之间表示整数的点有个.探究二:实数的运算【例2】计算下列各式的值.(1)-+-;(2)|-|+3.【导学探究】1.有理数的运算律在实数运算中同样适用.2.-是一个(填“正数”或“负数”),|-|=.变式训练2-1:|2-|+|3-|的值是()(A)1 (B)-1 (C)5-2(D)2-5变式训练2-2:计算:+----+-.1.(2013铁岭)-的绝对值是()(A)(B)-(C)(D)-2.(2013连云港)如图,数轴上的点A、B分别对应实数a,b,下列结论中正确的是()(A)a>b(B)|a|>|b|(C)-a<b(D)a+b<03.(2013淮安)如图,数轴上A,B两点表示的数分别是和5.1,则A,B两点间的表示整数的点共有()(A)6个(B)5个(C)4个(D)3个4.(2013河南)计算|-3|-=.5.(2013衢州)-23÷|-2|×(-7+5)1.(2013湖州)实数π,,0,-1中,无理数是()(A)π(B)(C)0 (D)-12.如图,在数轴上表示实数的点可能是()(A)点P(B)点Q(C)点M(D)点N3.三个数-π,-3,-的大小顺序是()(A)-3<-π<-(B)-π<-3<-(C)-<-π<-3(D)-3<-<-π4.有一个数值转换器,原理如下:当输入的x为64时,输出的y是()(A)8 (B)(C)(D)5.(2013宜昌)实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是()(A)a+b=0 (B)b<a(C)ab>0 (D)|b|<|a|6.在算式-□-的□中填上运算符号使结果最大,这个运算符号是()(A)加号(B)减号(C)乘号(D)除号7.(2013抚顺)已知,a、b是两个连续整数,且a<<b,则a+b=.8.(2013安顺)计算-++=.9.(2013呼和浩特)大于且小于的整数是.10.计算:(1)-+-;(2)-21+|-1|.。