南京市2020届高三第一次模拟考试（数学）2020.01n参考公式：1.样本数据X I ,X 2,L ,X n 的方差s 2 - （x i X ）2，其中x 是这组数据的平均 n i i 数。

2. 柱体、椎体的体积公式：v 柱体ShV 椎体Ish ，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h3是高。

一、填空题：（5分X 14=70分）1.函数 y V2X ―X 2 的定义域是 _______ . _______2. 已知复数z 满足（z 2）i 1 i （ i 为虚数单位），则z 的模 为 _______ . _____X y 20,3. 已知实数x,y 满足X y 0, 则z 2X y 的最小值X 1, 是 .4. 如图所示的流程图，若输入的X 9.5，则输出的结果 为5. 在集合A 2,3中随机取一个元素m ，在集合B 1,2,3中随机取一个元素n ，得到 点P （m, n ），则点P 在圆X 2 y 2 9内部的概率为 .6. 已知平面向量a,b 满足|a| 1,|b| 2，a 与b 的夹角为_，以a,b 为邻边作平行四边3形，贝吐匕平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为l|47g3 7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6」场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差I 为 .8. 在厶ABC 中,角A B C 所对的边分别为a 、b 、c ,若1 业冬，则角A 的大小 tanB b为 .2 29. 已知双曲线C:务与1（a 0,b 0）的右顶点、右焦点分别为 A F,它的左准线与Xa b轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为二雪）10. 已知正数数列a n对任意p,q N，都有a p q a p a q，若a? 4，则a g= .11. 已知l,m是两条不同的直线，，是两个不同的平面。

下列命题：①若1,m,l|| ,m||,则|| ；②若 1 ,l|| ,I m,则l || m ；③若||,l ||,则l|| ；④若1 ,m|H,|| ,则m .其中真命题是（写出所有真命题的序号）.12.已知f(x)log2(x 2)，若实数m,n满足f (m) f (2n)3，贝U m n的最小值是_. __13. 在厶ABC中，已知BC=2 AB AC 1,则厶ABC面积的最大值是14. 若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图象上；②P、Q 关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与22x 4x 1,x 0,（Q P）看作同一个“友好点对”）.已知函数f（x）2则f（x）的“友好飞，x 0,e点对”有____ 个.二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）.15. （本题满分14分）已知函数f（x） 2sin（ x ）（0,0 ）的最小正周期为，且f（—） . 2.4（1）求，的值；（2）若f（3）6（0 ），求COS2 的值。

16. （本题满分14分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA3G 中，D、D1 分别是BC和B1C1的中点.（1）求证：Ad //平面ABQ ;（2）若平面ABCL平面BCC1B1，BBC 60O，求三棱锥B ABC的体积。

17. （本题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母A卜线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎 /样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求（, _______最大面积•. -18. （本题满分16分）在直角坐标系xOy中，中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C上的点（2」21）到两焦点的距离之和为4.3.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线I与椭圆C分别交于A、Buuu uuu两点，其中点A在x轴下方，且AF 3FB .求过O A、B三点的圆的方程•19. （本题满分16分）将数列a n中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：印a? 83 a435 87 a g a gL已知表中的第一列数a1,a2,a5丄构成一个等差数列，记为0 ,且b? 4b 10.表中每一行正中间一个数印㈡彳㈡了丄构成数列q，其前n项和为（1）求数列b n的通项公式；（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a i3 1.①求S n;②记M n|(n 1)c n,n N ，若集合M的元素个数为3,求实数的取值范围.20. (本题满分16分)已知函数f(x) x 1 a In x(a R).(1)若曲线y f(x)在x 1处的切线的方程为3x y 3 0,求实数a的值；(2)求证：f(x) >0恒成立的充要条件是a 1 ;1 1(3)若 a 0,且对任意X1,X2 (0,1］，都有|f(xj f(x2)| 4|—— |，求实数x! x2a的取值范围.南京市2020届高三第一次模拟考试数学附加题2020.0121. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20 分.A. 选修4-1 :几何证明选讲如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B),过C作圆O的切线I，过A作直线I的垂线AD,垂足为D, AD交半圆于点E.求证：CB=CE.0BB. 选修4-2 :矩阵与变换1 a在平面直角坐标系xOy中，直线x y 2 0在矩阵M b 4对应的变换作用下得到直线m:x y 40，求实数a,b 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C: 10cos 和直线l :3 cos 4 sin 30 0相交于A 、B 两点，求线段AB 的长. D. 选修4-5:不等式选讲 解不等式|2x 4| 4 |x|.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22. 如图，在直三棱柱 ABC ABQ ,中， ACB M 是CG 的中点. （1） 求证：AB AM !;（2） 求二面角B AM C 的平面角的大小.S n i 3n 1 S nn23.已知等比数列a n 的首项ab 2，公比q 90°,3，高三效学答案第1页（共6页）2011.011. 本解答给出的解法供妙考•如果考生的解法与本解答不Ph 可根据试题的主要考査内容比黒评 分标准制订相应的评分细则・2. 对计算题・当考生的解答在某一步出现错误时•如杲后续部分的解答未改变该題的内容和难度• 可視形响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分歆的一半）如果后续部分的解答 有枝严Jt 的储溟•飲不再给分.3. 解善右烤所注分th 表示考生正确做到这一步应得的累加分数・4. 只分数•填空題不给中间分数.一、填空■（水大■共14小魁.毎小題5分■共70分） 1.[0>2]2.>/103. —14.1 517.59. V7+110. 51211•②④ 12.714.2二、解答■，本大AR 共6小AL 共计90分•解答时应耳出文字说明、证明过程或演算步9L15.（本小題満分14分）«.<1）由函效的周期为畛可知所以・・2・ .......................................................................... 2分a又由/（y ）—>/T ■得2sin （于+p ）=»>/T •所以cos 厂冷远•又^6《0・用）•所以厂于• ........................................ 5分 （2”方法一〉由/<f> = —§ •得血“+于）■一春 ............................ 7分因为 aG<0,r>t 所以又sin(a+y) = —y<0>所以°+于€&普九所以8sG»+于)=« — *・ ........... 10分 lfUcos2<r=sin(y+ 2a) = 2sin(a+y)cos(a+-^)・||・ ...................................................... 14 分 (方法二)由/X 亍)=—"|■•得sin3+予) ................................ 7 分 因为<€<0>ir)t 所以卄于W 叶考人又•inCa+y)——1-<0»所以卄于WX 平儿所以8s(o+于)=—壬・ ............. 10分 所以cos<r"cot[(<r+y) —yj —cos(a+y)cos 中+・in(a+于)sin 于所以 cos2a ・2cos'a —1«=2X (• -喺I 噜 ......................... ...... 14分 (方法三)由/(y) ——得sin(<r+于)■—咅・ ............................. 7分南京市2011届高三第一次模拟考试数学盖考答案及评分标准所以sina+cosaN —3 2 .所以l+$in2a=|| •艮卩sin2a=-吉. ......................................因为a€ （OtMr）t所以卄于G （于者人又sin（a+于）■ —gyO.所以a+于W《斤科〉.即«€ <y• 所以co$2a n Vl—sin^a ™ 券16・（本小題満分14分）解"】）证明：如图，连结DDi.在三棱柱ABC-A X B X C X中.因为D.D分别是SC与5G的中点•所以B4HBD、且BiD=BD.所以四边形B'BDD为平行四边形. 所以BBJ/ DD.•且BB L DD X.又因为AA x//BBx.AAx^BB x.所以AA\// DD\ ^AA\ B DD\•所以四边形AA.D^D为平行四边形•所以A X DJ/AD.又4D0平面AB X D9AD U平面AB X D.故A4H平面AB X D.（2）（方法一）在AABC中■因为AB=AC.D为BC的中点，所以AQ丄BC・因为平面ABC丄平面®GCB•交线为BC.ADU平面ABC.所以AD丄平面B.C.CB•即AD是三梭儀A-B.BC的高. ..................在ZSABC 中■由4B-XC-BC-4 得AD-2 后.在△B】BC 中•B l B=SC=4,ZB l BC=60\所以△B】BC的面枳$»血=于X4' = 4>/亍.所以三棱僱B L ABC的体积•即三梭链A-BtBC的体积V-yX5A>1M：• 4D-yX4 ^7X2^?=& ................................................................................................. . ...............（方法二〉在△BBC 中•因为BjB-BCtZBiBC-SOS所以△BifiC为正三角形■因ftBiD丄BC.因为平面ABC丄平面BxCxCB.交线为BC.BiDd平面BCCB • 所以5D丄平面ABC.即ED是三梭锥Bx-ABC的高. ...................................在△ABC 中•由AB-AC=BC= 4 得△ABC 的面积Sz=孕X4—后. 在△B|BC 中•因为B1B=BC«4，ZB I BC=60%所以民£>“2后・所以三梭^Bx—ABC的体积U ・*XSsc • B,D-|X4 JTx2 O厂亍=&10分10分14分10分•••14 分14分4分6分高三数学答案第2页（共6页）高三数学答案第3页(共6页)17,本小题満分14分) W ：d )(方法一)连结OC ・设BC=z •矩形AfiCD 的面枳为S.R'MB = 2 V900-x :•其中 0V JT V30・ ........................ 2 分 所以 S-2x >/900_,工2 "(900-—)«2 + (900—P) = 900. .. 4 分 当且仅当”匸900—+・即工・15 ^2时』取最大值为900cm x .答:取BC 为】5J?cm 时■矩形ABCD 的面积最大•最大值为900cm 《方法二)连结OC •设ZBOC ■仇矩形ABCD 的面积为S ・则BC ・3Osin0QB ・3OcoM ■其中0V0V 》・ ............................ 2分所以 S = AB • BC=2OB • BC=900sin2^. ............................................................................. 4 分 所以当sin20=l,即0■于时.S 取杲大值为900cm 1.此时BC-15 皿. 答:取BC 为15m 时•矩形ABCD 的面积最大•最大值为900cm*・ ............... 6分(2)(方法一)设圆柱底面半径为r 高为工•体积为匕 由 AB=2 V900—x* = 2arr,得「=—~•所以 V^KT^h =丄(900X-X 3),其中 0Vx<30・ .................................................................. 10 分 由 W = 2(900-2) = 0.得R =10>/T ・因此V-^(900r-x ,)在(OtloVT )上是增函数.<E(10 VT t 30)上是减函数. ................. 12分 所以当x-10>/3时卍的竝大值为警洱.答，取BC 为IOJI C m 时■做出的同柱形績子体积帰大•最大值为警戶 cn?・................... .. ................................................................................................................. U 分 (方法二)连结OC •设ZBOC-^.M 柱底面半径为八高为几体积为V. 则圆柱的底面半径为r=警^高— 30siM,其中0V0V 承所以 V=rr 1 A = ^^sintfcos^ =-(sin^-sin^). ..................................................... 10 分设"sin 。