江苏省南京市2020届高三数学上学期期初联考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤ 【解析】 【分析】根据交集定义直接求得结果.【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2．【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200. 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯=∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______．【答案】13. 【解析】 【分析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.5.函数21log y x =+______．【答案】1[,)2+∞ 【解析】 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由21log 0x +≥，得12x ≥， ∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.6.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17 【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 考点：循环结构流程图7.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为53，则双曲线C 的方程为_______． 【答案】2212016x y -=.【解析】 【分析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程.【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+，解得：220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】 分析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ== 本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9.函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3. 【解析】 【分析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果.【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10.在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______．【答案】14. 【解析】 【分析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q -=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果.【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=Q ，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q = 114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11.已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】(0，1). 【解析】 【分析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】()f x Q 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x Q 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=o Q ，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==o，即220016x y += 又PC =PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y +=Q 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式.13.如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】 【分析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD uuu v ，AB u u u v表示出CD uuu v ，FA u u u v ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD =u u u v u u u v ，从而得到结果.【详解】作//FG AD ，交BD 于点GAED FEG ∆∆Q : GF EG AD DE ∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+== 又23BC AD =，可得：2DE EG = 3344DF DG EG DC DB EG ∴=== 2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB =++=++=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v Q()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22133********2FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 223122AB AD ∴=u u u v u u u v ，即223122AB AD =u u uv u u u v33AB AB AD AD ∴==u u u v u u u v 本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________.【答案】[32ln 2,)-+∞ 【解析】 【分析】首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x <<，根据()()122f x f x +=即可得出122212ln x x x x +=-+，最后通过构造函数()()12ln 1g x x x x =-+>以及对函数()()12ln 1g x x x x =-+>的性质进行分析即可得出结果。