第二章推理与证明知识复习一、合情推理与演绎推理1．合情推理（合情推理对于数学发现的作用，为复数铺垫）合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：部分到整体，特殊到一般（2）类比推理：特殊到特殊①关于类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：（亮点）(一)空间问题与平面问题多面体多边形；面边；体积面积；二面角平面角；面积线段长；（二）四则运算加法乘法；减法除法；乘法乘方；除法开方；②平面几何与立体几何：③圆与球的性质的类比：③直角三角形与直角四面体的类比：⑤等差数列与等比数列的类比：推理与证推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合分析反证直接证明间接证明数学归纳S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列 S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列 前n 项和：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (a 1＋a n )2 前n 项积：T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝(b 1·b n )n若a k ＝0，2k ＞n ＋1，k ，n ∈N *则有 a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2k －n －1 若b k ＝1，2k ＞n ＋1，k ，n ∈N *则有 b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 2k －n －1 若c n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{c n }也是等差数列若d n ＝nb 1·b 2·…·b n ，则数列{d n }也是等比数列若c n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n，则数列{c n }也是等差数列.若d n ＝(b 1·b 22·b 33·…·b n n )11＋2＋3＋…＋n ，则数列{d n }也是等比数列.2.演绎推理一般到特殊根据一般性的真命题（或逻辑规则），推出某个特殊性命题为真的推理称为演绎推理．是演绎推理的主要模式， 构成包括三部分⑴大前提---已知的一般性原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况；三段论的推理规则：M P （M 是P ）S M（S 是M ）S P（S 是P ）（大前提）（小前提）（结论）.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.MS⇒⇒⇒三段论的推理规则：M P （M 是P ）S M （S 是M ）S P （S 是P ）（大前提）（小前提）（结论）.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.MS合情推理与演绎推理的区别:• 1 特点 ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的 推理.• 2 从推理的结论来看：合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确.【例1】 有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录象机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．以上都不是二、直接证明与间接证明1．综合法 顺推，由因导果综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．2．分析法 逆推，执果索因分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．3．反证法（1）否定性命题即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

（2）限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

原结论词 反议词 原结论词 反议词 至少有一个一个也没有对所有的x 都成立存在某个x 不成立b c a b a c.⇒⇒⇒符号表示：如果，，则间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

反证法步骤（1） 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；（2） 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理﹑定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3） 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

⑴定义:设(){}p n 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题1p (或0p )成立;(2)在假设p ｋ成立的前提下，推出p ｋ+１也成立，()p n 对一切正整数都成立.数学归纳法法4．数学归纳法步骤:① 证明当n 取第一个值n 0时命题成立；② 假设n =k （k ≥n 0， k ∈N*）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 步骤： 递推基础不可少，（基础） 归纳假设要用到，（依据） 结论写明莫忘掉。

（结论）一、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中n0一定等于1吗？2、为什么可以先假设n=k (k ≥n0,k ∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？二、思维误区1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k 时的式子，或将n=k+1的情况用n=k 的情况表示。

2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k 变化到n=k+1“和”或“积”的情况。

题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n 2（n ＋1）2 证明：① 当n =1时，左边=13=1，右边=()11114122=+⋅⋅， 故等式成立．② 假设n =k （N ∈k ，且k ≥1）时等式成立。

即13＋23＋33＋…＋k 3＋=41k 2(k +1)2成立．则当n =k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k +1)3 =322)1()1(41+++k k k =[])1(4)1(4122+++k k k ()()221141++=k k ()[]221)1(141+++=k k ． 即当n =k ＋1 时等式也成立．综合①，②，对一切N ∈n ，等式都成立．题型二、用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式． 例题解析（不等式证明）------放缩法例2 归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）． 证明：① n =2时，左边=201961514131=+++＞109=右边，不等式成立. ② 假设n =k （N ∈k ， k ≥2）时不等式成立，即++++2111k k …k 31+＞109成立． ——4分则当 n =k ＋1时，++++3121k k …k 31+131++k 331231++++k k =（++++2111k k …k 31+）＋（131+k 331231++++k k －11+k ）＞109＋（131+k 331231++++k k －11+k ）＞109＋（331+k 331331++++k k －11+k ） =109即当n =k ＋1时不等式也成立． 综合①，②，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．题型三、用数学归纳法证明整除问题（整除问题）例3. 用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．证明：① 当n =1时，32＋2－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立． ② 假设n =k （ k ≥1，N ∈k ）时命题成立．即32k ＋2－8k －9能被64整除．则当n =k ＋1时， 32（k ＋1）＋2－8（k ＋1）－9=9·32k ＋2－8 k －8－9 =9（32k ＋2－8 k －9）＋64 k ＋64． ∵ 32k ＋2－8 k －9与64均能被64整除， ∴ 32（k ＋1）＋2－8（ k ＋1）－9能被64整除． 即当n =k ＋1时命题也成立．综合①，②，对一切N ∈n ，32n ＋2－8n －9能被64整除．题型四、用数学归纳法证明几何问题例4：平面内有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们：（1）共有()()f n n n =-121个交点（2）互相分割成()g n n =2条线段（3）把平面分割成()()h n n n =++1211个部分。

分析：从图形的性质出发，进行分析。

证明： （i ）当n =1时()()()f g h 101112===，，与图形性质相同，命题成立。

（ii ）假设()n k k =-≥12时，命题成立，则当n k =时，考查n k =-1及增加一条直线l ，这一条直线与原来的k -1条直线的关系是它们都相交，各有一个交点。

()()∴=-+-f k f k k 11 又因为增加的一条直线l 被原来的k -1条直线分割成k 段（即增加的k -1个点把l分成k 段）而l 又把原来的k -1条直线每条多分出一段（即增加的k -1个交点把各交点所在的线段一分为二），若增加了k k +-1条线段。

()()()∴=-++-=-+-g k g k k k g k k 11121 又因为l 被分成k 段，每段把该段所在的部分平面分成两部分，总共多出k 个部分平面。

()()∴=-+h k h k k 1 由假设易知()()()()()f k k k g k k h k k k =-==++12112112，，故n k =时命题成立。

由（i ）（ii ）知，对任何n N ∈命题都成立。