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不等式与不等式组经典例题分析
足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和【例1】满等于。

【分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式.
解：原不等式去分母，得
3（2＋x）≥2（2x－1），解得：x≤8.
满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11.
这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30.
【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程
的解，那么（）.
【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.
的解为 2a＋5（x＋4）＝解：关于x的方程3
的方程关于x的解为
D.
由题意得.，解得因此选
，2+c>2，那么（）【例3】 .
如果 A. a-c>a+c B. c-a>c+a
C. ac>-ac
D. 3a>2a
【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便
可以找到正确的答案.
由解:
所以a<0.
由2+c>2，得c>0，答案：B
满足不等式S，这四个数中最大数与最小数四个连续整数的和为S，【例4】的平方差等于 .
【分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.
解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.
由， <19精品文档．
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解得7<m<9.
由于m为整数，所以m＝8，则四个连续整数为7，8，9，10，因此最大数与
最22＝51.
－小数的平方的差为107 由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行
统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，
去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不
等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应
该不重、不漏．
【例5】解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
分三个区间讨论：关键是去掉绝对值符号前后的变号. 【分析】
1，（2x+3）］＜时，原不等式化为-（x-5）-［（解：1）当x-≤≤，结合x 解得，故x<-7是原不等式的解； x<-7）当＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）
-（2x+3 （2）＜1，
是原不等式的解；解得
（3）当x＞5时，原不等式化为：x-5-（2x+3）＜1，
解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
）可知，是原不等式的解．3 （2），（综合（ 1），x?3b?2a???5?x?2，
求a的解集为6】关于x的不等式组、b的值。

【例2?a?x?2b?3?【分析】解
此类不等式，是用构造方程法：先解出不等式组的解集，再根据已知条件列成方
程组，解出结果。

解：解原不等式组的解为2a-3b≤x≤2b-2/3a
?5?x?22a-3b=-5 由已知条件得方程组 2b-2/3a=2
解得：a=-2,b=1/3
x?m?1?【例7】若不等式无解，则m的取值范围是.
?x?2m-1?【分析】解无解类不等式组，常用反解法：
解：由原不等式组得2m-1<x<m+1，即2m-1<m+1，因无解则2m-1<m+1不成
立，
所以2m-1≥m+1，解得：m≥2
1??25?x?的不等式组无解，求a的取值范围x如：关于。

?x?a?0
?精品文档．
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答案：a≥3
2??a?1?xa?3?x?a?2，求【例8a】若不等式组的解集为的取值范围。

?3?x??解：由题意得：a－1≤3且3<a＋2≤5，解得a≤4且1<a≤3，则1<a≤
3
1x??9?5x?】【例9不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是?x?m?1
?解：解原不等式组得：x>2
x>m+1
由不等式组解集是x>2，根据大大取大的法则得：m+1≦2，解得：m≤1
【例10】不等式组x +9﹥5x+1
x﹤2，则m的取值范围是的解集是x﹤m+1
解：解原不等式组得：x﹤2
x﹤m+1
由不等式组解集为x﹤2，根据同小取小的法则得：m+1﹥2，所以m﹥1
【例11】不等式组x +9﹤5x+1
x﹤m+1 的解集是x>2，则m的取值范围是
解：解原不等式组得：x>2
x﹤m+1
由不等式组解集为x>2所以m的范围为空集，无解。

注意：一个不等式组中有解的情况下，两个不等式都是大大、小小都有解，一大
一小时，取值范围为空集（如例11形式）。

，那么适合这个不等式组的，3，的整数解仅为1212 【例】如果不等式组 b）共有多少个？请说明理由。

的有序数对（a，b整数a、分析解答：把原不等式组化为最简形式，得由于不等式组有解，解集
必为 3又由于它的整数解仅为1，2，，所以
从而 825个整数，整数b取～32共个整数。

991a于是，
整数取～共 89ba故有序数对（，）共有×即对。

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若不等式组有五个整数解，则a ＝_________
【例13】分析解答：把原不等式化为最简形式，得由于不等式组有解，解集必有1 ，1，0又它有五个整数解，这五个整数解只能是－3，－
2，－故a的取值范围是。

的值为】若不等式组_______的解集为，则【例14分析解答：把原不等式组化为最简形式，得，所以由于
于是2 1，b＝－＝解得a
故。

【例15 】已知的取值范围为＜，且﹣1x﹣y＜0，则k﹣2k，解：第二个方程减去第一个方程得到x﹣y=10
2k＜0得到：﹣1＜1﹣＜根据﹣1x﹣y＜ 1
＜即解得＜k．＜k＜1k的取值范围为的取值范围是。

16【例n】如果不等式组的解集是x＞4，则，＞2x＞0，∴x0＜解：
由x+73x+7移项整理得，的解集是x＞4，∵不等式组，∴n=4
有解，则m的取值范围是17【例】若不等式组。

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和解：原不等式组可化为，
1）始终有解集，（
2
m＜（2）知m＜2．由（1）、则由（2）有解可得的值为。

＞﹣的不等式组1，则n的解集为x 【例18】若关于x 1
﹣2n+1=＞n+2时，解：①2n+1
﹣1不符合题意．代入不等式2n+1＞n+2中不成立，因此n=n=n=﹣1．将﹣11 n+2=﹣n+2②2n+1＜时，
3 的值为﹣3n=﹣，经检验符合题意，所以n，化简|x﹣2|+|x+5|x
【例19】已知，．满足
2
x＜解：由（1）得，
5
x＞﹣由（2）得，|x+5|=x+5；﹣x，则：|x﹣2|=2 ．﹣﹣2|+|x+5|=2x+x+5=7所以|x的取值范围来去绝对值．分析：解此类题时，先求出不等式组的解集，然后根据x
折8人以上（含20人）的团体票可20】北京故宫博物馆内门票是每位60元，20【例人时，20问比买普通票共便宜多少钱？此外，不足现在有18名游客买20人的团体票，优惠. 20多少人买人的团体票才比普通票便宜？
. 960元元，买20人的团体票费用为1080 解：18位游客买普通票费用为
.
元120元，所以便宜120 1080-960＝0.860×.人买20人的团体票比买普通票便宜由题意可列不等式x 设不足20人时，60x.
20＜×
19.
18，，17x20x16x 解得＞，而＜，所以＝
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