递函数直接寻找闭环极点。
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二、闭环极点与开环零极点的关系
闭环传递函数：
T (s) G (s) 1 G (s)H (s)
一般地，可设:
mg
K
* G
(s
z gi
)
G (s) i1 ng
( s p gi )
i1
———前向通路传递函数
K
* H
mh
(s
z hi
)
H (s) i1
nh
( s p hi )
当 K =0 时 ， s1 0, s2 2; K = 0 .5 时 ， s1 1, s 2 1; K =1 时 ， s1 1 j, s2 1 j; K = ∞ 时 ， s1 1 j , s 2 1 j ;
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由根轨迹分析系统动态性能：
① 当 K 从 0→ 变 化 时 ， 根 轨 迹 总 在 s 左 半 平 面 系 统 对 所 有 的 K 都 稳 定 。
，相角为奇数个
－－－模值方程
－－－相角方程
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结论： ① 复平面上的 s 点若是闭环极点，则它与开环零点极点组成的向量必满
足上述方程。 ② 相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件，它可确定哪些点在或不在根
轨迹上，模值方程主要用于确定根轨迹上的各点对应的开环增益 K *。
§4-2 绘制根轨迹的基本法则
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五、 根轨迹的渐近线
当 s 时，G(s)H(s)=-1 是什么样子？
若m n，则n m条根轨迹 的方向
可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点的坐标：
n
m
pi zi
a
i1
i 1
nm
渐近线与实轴交点的夹角：
a
(2k 1) ，k 0,1,2,... nm
至获得(n m)个角。
m
(s zi )
设 开 环 传 递 函 数 G ( s ) H ( s ) 有 m 个 零 点 ，n 个 极 点 ， 则 上 式 可 写 为 ：
K
*
m
(s
zi)
i1 n
1
(s pi)
i1
K
*
m
(s
zi
)
i1 n
1
(s pi )
i1
m
i1
(
k
s
z
0
i
,
)
1
n
,i 1
(s
2，
pi)
(2k
1)
荡过程。 ⑤ ∵开环传递函数有一个位于坐标原点的极点。
∴ 为 I 型 系 统 。 → 阶 跃 作 用 下 ，e ss ＝ 0 。
结论： ① 根轨迹可分析系统中参数（ 具有物理意义的参数 ，如 K。而 二阶系统中的
、 n 反映了系统的本质，却不可实测）变化时闭环极点的位置。
② 以上解析法不适于高阶系统。 ③ 根轨迹法思路：根据反馈系统中开、闭环传递函数之间的确定关系，由开环传
i1
—— 反馈通路传递函数
———
K
* G
、
K
* H
分别为前向、反馈通路的根轨迹增益。
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开环传递函数：
K
*
mg
(s
z
gi
mh
)
(s
z hi
)
G (s)H (s) i1
i1
ng
nh
( s p gi ) ( s p hi )
i1
i1
—
——
K
*
K
* G
K
* H
为开环系
统
的根轨迹增益。
闭环传递函数：
s(0.5 s 1) s(s 2) 关系。
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解 ： 有 G (s)的 开 环 极 点 ： 0、 -2，
闭环传递函数:
T (s) G (s)
2K
，
1 G (s) s 2 2s 2K
闭环特征方程： s2 2s 2K 0，
∴ 闭环极点为：
s1 1 1 2 K , s2 1 1 2 K 。
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。
m
(s
pi
)
m 1,n5 (2k
1)
i 1
i 1
3 0o，
2 1 z 180 o ，
4 5 2
z ( 1 2 3 4 5 ) 3 ＝ （2 0 2）
共轭对幅角之和无贡献，
左边幅角为 0， 右边为 ，有奇数个 即可！
K
* G
mg
(s
z gi
nh
)
(s
p hi
)
T (s)
i1
i1
ng
(s
nh
p gi )
(s
p hi
)
K
mg
*
(s
mh
z gi )
(s
z hi
)
i1
i1
i1
i1
结论：
H (s )1
① ②
闭 闭 当
环
环H
系
零( s
统的
点) ＝
＝1
根G (轨s )迹 增 益
的零点 时，闭环零
K
* T
＋H
点＝
K
② 当 0<K<0.5 时 ， 闭 环 极 点 为 实 数 ， 系 统 呈 过 阻 尼 状 态 ,阶 跃 响 应 为 非 周 期 过 程 。 ③ 当 K=0.5 时 ， 两 闭 环 极 点 相 等 ,系 统 临 界 阻 尼 。 ④ 当 K>0.5 时 ， 两 闭 环 极 点 为 共 轭 复 根 ,系 统 呈 欠 阻 尼 状 态 ， 阶 跃 响 应 为 阻 尼 振
一． 根轨迹的分支数 分支数＝闭环极点数
＝闭环特征方程的阶数 n
二． 根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数→在实轴上
{ 复数→共轭→对称于实轴
三． 根轨迹的起点与终点 起于开环极点，终于开环零点。
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由根轨迹方程有：
m
(s
i1
n
(s
zi) pi)
1 K*
i1
起 点 ： K * 0 → s pi 0 → s pi；
sm
m
z
i
s
m1
m
(zi )
G(s)H (s) i1
K
i 1
i 1
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§ 4— 1 根 轨 迹 与 根 轨 迹 方 程
一、根轨迹 一 般 根 轨 迹 是 指 当 开 环 增 益 K 从 0— ∞ 变 化 时 ，闭 环 极 点
在 S平面上移动的轨迹。 例：已知下图所示系统的开环传递函数 G ( s ) K 2 K 。分 析 其 根 轨 迹 与 系 统 性 能 之 间 的
(s)
开环
* G
的 零
极 点
点 ＝
。
G
K
(s
*
)
。 的
零
点
。
③闭环极点与开环零点、开环极点及根轨迹开环增益有关。
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三、根轨迹方程
画 根 轨 迹 实 质 上 是 找 闭 环 特 征 方 程1 G (s)H (s) 0 的 根 。 满 足 G ( s ) H ( s ) 1 的s 值 ， 必 是 根 轨 迹 上 的 点 。
终 点 ： K * → s zi 0 → s zi
若开环零点数 m < 开环极点数 n (有 n m 个 开 环 零 点 在 无 穷 远 处 )
m
m
(s
(s
i1
pi)
zi)
n
(s
pi)
1
i1
i m 1
则 有 (n m )条 根 轨 迹 终 于 无 穷 远 点 。
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四、实轴上的根轨迹