M(x)=Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x
Fcr 2 k 令 EI
Fcr
w' ' k 2 w 0
w A sin kx B cos kx
w
A
当x=0时， w=0。
Fcr （+） M (x)= Fcrw
w l 2 x
0 A 0 B cos kx
EI Fcr ( l ) 2
2
μ称为长度系数。 约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
I i

l
i
2E cr 2
λ称为柔度或细长比， 无量纲。
2E cr 2
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
三、细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
思路： 假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态 若： 然后设法去求挠曲函数。 平衡，
1）求得的挠曲函数≡0， 说明只有直线 平衡状态； 2）求得不为零的挠曲函数，说明压杆的 确能够在曲线状态下平衡，即出现失 稳现象。
P
当：i） p
cr 2 E 2
2E , P
细长杆，大柔度杆
a s , ii） p o b
中长杆，中柔度杆
cr a b
iii） o
cr s
粗短杆，小柔度杆
2. 压杆的临界应力总图
•临界应力总图——临界应力（或极限应力）随柔 度变化的曲线
解： 1）计算压杆BC的临界力
BC Pcr
2 EI
L2 3.76(KN)
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
l l 2 x
x
B y
B y (b)
w A sin kx 0
失稳!!!
(a)
失稳的条件是： sin kl 0
kl n
Fcr l n EI
n 2 2 EI Fcr 2 l
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
得：B=0，
l
B y
B y (b)
x
w A sin kx
(a)
w A sin kx 又当x=l时， w=0。 得 Asin kl = 0 要使上式成立，
x
Fcr A
1）A=0
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 2） sin kl = 0
w Fcr w
M (x)= Fcrw
此时A可以不为零。
cr cu cu
p
cr a b
2E cr 2
0
小柔度杆 中柔度杆
p
大柔度杆

例：
1.分析下列两根 大柔度压杆哪 一根杆的临界 载荷比较大；
2.已知：两根压杆 d =160 mm、 E =206 GPa , 求：二杆的 临界载荷
1.分析哪一根压杆的临界载荷比较大
二者都属于细长杆，采用欧拉公式
E Pcr 2 A
2
Pcr cr A cr
l
i 20 a d
i
E 2
2
I d A 4
18 b d
P cr , a P cr ,b
2.已知： d =160 mm， A3钢， E =206 GPa , 求：二杆的临界载荷.
首先计算柔度，判断属于 哪一类压杆：
20 20 a 125 d 0.16 18 18 b 112 .5 d 0.16 A3钢 p=100
第十一章
压杆稳定
§11-1 压杆稳定性的概念
稳定 失稳 理想中心压杆： 1. 直杆（无初曲率）, 2. 压力无偏心。 事物保持常态。 事物无法保持常态。
二、压杆稳定的概念
1、概念：
（1）压杆的稳定性— 压杆保持直线平衡状态的能力。 （2）丧失稳定—— 压杆不能保持直线平衡状态而发 生的破坏。（简称失稳）
Fห้องสมุดไป่ตู้
F（较小） F（较小）
F（特殊值） F（特殊值）
QQ
Q Q
轴压 直线平衡
压弯 曲线平衡
恢复 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
Fcr （+） M (x)= Fcrw x
挠曲函数与采用的坐标 系或规定弯矩的符号无关。
l B y (c)
y
B (d)
§11-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数

l
i
1) 柔度λ中包含了除材料之外压杆的所有信息，是 压杆本身的一个力学性能指标； 2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低，稳定
性越差。
2E cr 2 P
2E E P P P
λP仅与材料有关。 对于Q235钢λP＝100。
可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
两端固定：
EI Pcr 2 l
2
其它约束（支承）细长压杆的临界力
例1、图示三角架结构，BC杆为细长压杆，已知：AC=1.5m， BC=2m，d=2cm，E=200GPa，求不会使刚架失稳的载荷P。