面值 （元） 1,000 20,000 10,000
市场价格 （元） 951.68 20，000
到期收益率 （年率） 7% 5.5%
9，831.68 8%
求该债券组合的久期。
解：先分别计算出每种债券的久期。 DA=10.2001(半年) DA*=4.9276(年) DB=8.8777(半年) DB*=4.3201(年) DC=7.0484(半年) DC*=3.3887(年)
债券价格与收益反方面变动。 市场利率＝票面利率，价格＝面值； 市场利率>票面利率，价格<面值； 市场利率<票面利率，价格>面值。


随着到期日的临近，债券的价格向面值趋近。
价格
6% 8%
10%
距到期日的年数
价格的利率敏感性：债券价格波动对收益率变化 的敏感程度。 一、票面利率大小与债券价格波动 保持其他因素不变，票面利率越低，债券价格 的利率敏感性越大，利率风险越大。
6.0% 6.2% 134.67 131.84
5.8%
137.59
请估计当期收益率从6%上升到8%时债券价格的波动幅 度。
练习1：考察这样一个5年期债券，息票率为7%,每年 付息2次，设收益率为8%。计算该债券的久期和凸度， 以及价格波动与收益率之间的关系。
练习2：有一个5年期债券 ，票面利率为6%，1年支 付2次利息。到期收益率 如下表所示，求凸性。



一、久期(持续期) （一）定义 衡量债券价格的收益率敏感性。 久期是价格变化的百分比除以收益率变化的百分比。
(P / P) (P / P) D [(1 y ) / (1 y)] [y / (1 y)]
式中：P是债券的初始价值； y是初始收益率。
即：
P / P [ D / (1 y)] y
dP d 2P dP .dy 1/ 2. 2 .(dy) 2 dy dy
dP dP 1 d 2P 1 2 . dy 1/ 2. 2 . (dy) P dy P dy P P
d 2P 1 凸性C 2 . dy P

（二）计算
1 C 2 P (1 y)
CFt (t 2 t ) (1 y)t t 1
票面利率 面值(元)
信用评级
B
8% 100
Aa
C
8% 100
Aa
8% 100
Aa
到期时间
收益率 价格(元)
5年
8% 100.00
10年
8% 100.00
15年
8% 100.00
分别计算并比较收益率上升两个百分点时三者的价 格波动百分比。 -7.72% -12.46% -15.37%
三、债券价格波动的不对称性 即债券价格对于收益率的降低比对收益率 的上升更加敏感。
权重 0.0401 0.0382 0.0364 0.0347 0.0330 0.8176 1
t(t+1)×权 重 0.0802 0.2292 0.4368 0.6940 0.9900 34.3392 36.7694
则半年期凸性=36.7694/1.052=33.3509 年凸性=33.3509/22=8.3377
T
T 1 即： C (t 2 t )Wt (1 y)2 t 1
其中：
CFt Wt t (1 y ) P
(T 2 t ) C (1 y )2
对于零息债券：
时间 （期数） 1 2 3 4 5 6 总计
现金流 4 4 4 4 4 104
现金流的现 值 3.8095 3.6281 3.4554 3.2908 3.1341 77.6064 94.9243

（三）凸性与价格波动的关系
P 1 * 2 D .y .C.(y ) P 2 P
其中：
dP 1 D . dy P
*
d 2P 1 C 2 . dy P
右边第一项：基于修正久期对债券价格波动的近似估计。 第二项：引入凸性以后对久期估计的价格波动做出的修正。
对于有一正的凸度的债券（不含期权的债 券都有正的凸度），无论收益率是上升 还是下降，第二项总是正的。这就解释 了久期近似值为什么在收益率下降时低 估债券价格的增长程度，而在收益率上 升时高估债券价格的下跌程度。


利用久期得到的价格波动百分比与收益率之间是线 性关系。 而事实上价格与收益率之间的关系是一条凸形的曲 线。所以久期估计存在误差。
三、资产组合的久期

资产组合的有效平均到期时间。 对组合中所有资产的久期求加权平均数。 权重是各种资产的市场价格占资产组合总价值的比 重。
债券 票面利率 到期时间 （年） A B C 6% 5.5% 7.5% 6 5 4
期限（年） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
到期收益率 4.4181% 4.5056% 4.5914% 4.6753% 4.7574% 4.8377% 4.9122% 4.9927% 5.0711% 5.1404%
补充：马凯尔债券价格五大定理

由债券价格的决定我们看出：债券价格与债券本身 的票面利率、复利年收益率、到期期间均有关系。 马凯尔（Burton G.Malkiel）的研究将债券价格的 特性归纳成五点，称为马凯尔债券价格五大定理。


例1:有A、B两种债券，半年付息一次，下一次付息 在半年以后，相关资料见表：
A 票面利率 面值(元) 信用评级 到期时间 8% 100 Aa 10年 B 10% 100 Aa 10年
收益率 价格(元)
8% 100.00
8% 113.59
分别计算并比较收益率上升两个百分点时两者的 价格波动百分比。 A:-12.46%;B:-11.96%
普通债券久期是债券现金流时间的加权平均。其权 重是每次现金流现值占现金流现值总和（即债券价 格）的比例。
T

（二）如何计算普通债券的久期
T
tCFt (1 y)t T D tT 1 t Wt CFt t 1 (1 y)t t 1
CFt (1 y )t 其中：权重 W P
B 8% 100 Aa 10年 10% 87.54
分别计算并比较收益率上升1个百分点时两者的 价格波动百分比。 -6.5% -6.25%
一、基点价格值 指收益率变化一个基点，也就是0.01个百分点时， 债券价格的变动值。（绝对值） 价格变动百分比＝基点价格值/初始价格 （相对值）


例4.有三种息票债券A、B、C，半年付息一次，下一 次付息在半年以后，其他资料如下：
CFt 价格 P (1 y)t t 1
T
例5:面值为100元，票面利率为8%的三年期债券，半年付 息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率为10%, 计算它的久期。 解： 时间 现金流 权重 现金流的 时间×权
（期数） 1 2 3 4 5 6 总计 4 4 4 4 4 104 现值 3.8095 3.6281 3.4554 3.2908 3.1341 77.6064 94.9243 0.0401 0.0382 0.0364 0.0347 0.0330 0.8176 1 重 0.0401 0.0764 0.1092 0.1388 0.1650 4.9056 5.4351

当收益率上升时，
P / ( Py) ( P0 P ) / ( P0y)

则：
P P 近似 修正 久期= 2 P0 y

类似可推出：
P P 2 P0 近似凸性= P0 (y )2

例11：有一债券，到期收益率与债券价格的对 应关系如下表所示： 到期收益率 债券价格
CFt P (1 y)t t 1
T
CF:每期现金流（包括利息和本金）
1 T tCFt dP / dy (1 y)t (1 y) t 1
T tCFt 1 (dP / dy)(1/ P) [ (1/ p)] t (1 y) t 1 (1 y)
tCFt 麦考利久期公式： D (1/ p) (1 y )t t 1
二、到期时间与债券价格波动 保持其他因素不变时，长期债券的价格对利率变 动的敏感性比短期债券更强。 债券的到期时间越长，利率风险也就越大。 随着到期时间的增长，价格的利率敏感性以递减 的速度增加。

例2.有三种息票债券A、B、C，半年付息一次，下一 次付息在半年以后，其他资料如下：
A

二、久期与价格波动的关系
P/P [ D / (1 y)] y

定义D/(1+y)为修正久期，用D*表示，则：
P/P D* y

债券价格的变动百分比（相对数）等于修正的久期与到期 收益率变动值（绝对数）的久期是2.7176年。 还有一种面值为100元，距到期日还有2.7176年的 零息债券，它的久期也是2.7176年。比较两者价 格的利率敏感性。 解：假设收益率上升一个基点，为10.01%。 息票价格变动百分比为：-0.0259%; 零息债券变动百分比为：-0.0259%。

价格
收益率
四、初始收益率与债券价格波动 其他因素不变时，初始收益率水平越低，债 券价格的利率敏感性越强。 两层含义： 一是市场利率水平越低时，债券价格的利 率敏感性越强； 二是到期收益率水平越低，债券价格的利 率敏感性越强。
A 票面利率 面值(元) 信用评级 到期时间 收益率 价格(元) 8% 100 Aa 10年 8% 100.00
1 y (1 y) 平价出售息票债券的久期＝ y y (1 y )T
1 y T 固定期限年金的久期＝ y (1 y)T 1
（ y） 1 永续年金的久期＝ y