圆锥曲线基础知识与典型例题第一部分:椭圆 1、知识关系网2、基础知识点（1).椭圆的定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (２a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． （２）.椭圆的标准方程及其几何性质（如下表所示)标准方程22221(0)x y a b a b+=>> 22221(0)x y a b b a+=>> 图形顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±对称轴 x 轴,y 轴,长轴长为2a ，短轴长为2b焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c1(0,)F c -、2(0,)F c焦距 焦距为122(0),F F c c => 222c a b =-离心率 e =22=1c b a a- (0＜e <1) e 越大椭圆越扁第二部分：双曲线 1、知识网络2、基本知识点(1)双曲线的定义:平面内到两个定点Ｆ1、Ｆ2的距离之差的绝对值等于定值2a (0＜2a <|F １F 2｜)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距．标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>> 22221(0,0)y x a b a b-=>>图形顶点 (,0)a ± (0,)a ±对称轴 x 轴，y 轴,实轴长为2a ,虚轴长为2b焦点 12(,0),(,0)F c F c - 12(0,),(0,)F c F c -焦距焦距为122(0),F F c c => 222c a b =+离心率 e =221c b a a=+ （e >1) e 越大双曲线开口越大第三部分：抛物线1、知识网络2、基本知识点（1）抛物线的定义: 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点Ｆ不在l上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.（2)抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)x x第四部分:圆锥曲线综合问题1.直线与圆锥曲线的位置关系⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离.方法:直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<．注：直线方程与双曲线方程、抛物线方程联立消元后注意二次项系数为零的情况讨论. ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长①当直线存在斜率k 时，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-=②当直线斜率不存在时,则12AB y y =-.(3)椭圆、双曲线的通径：22b a（过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦)椭圆焦点三角形面积公式:12212tan 2F PF F PF S b ∆∠= (点P 是椭圆上的点） 双曲线焦点三角形面积公式：12212tan2F PF b S F PF ∆=∠(点P 是双曲线上的点）(4)抛物线相关结论:抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.(自己可以尝试证明这些结论．．．．．．．．．．．．) 若ＡＢ是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦,且11(,)A x y ,22(,)B x y ，则有如下结论:①2124p x x =，212y y p =- ②1cos P AF α=-，1cos P BF α=+(α为AB 所在直线倾斜角）③1222sin pAB x x p α=++= ④112AF BF P+=⑤22sin AOB P S α∆= ⑥相切：a .以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；b .过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切;ｃ．以AF 或BF 为直径端点的圆与轴相切.2.圆锥曲线问题求解策略：1.一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合，既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理；二是点差法。

3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式,通过解不等式求范围。

第五部分:圆锥曲线考点、题型、方法题型一：定义的应用(1）寻找符合条件的等量关系 (２)等价转换,数形结合 典型例题例1、动圆Ｍ与圆221:(1)36C x y ++=内切,与圆222:(1)4C x y -+=外切，求圆心M 的轨迹方程．例2、8表示的曲线是例３、12,F F 是定点,126F F ，动点M 满足126MF MF ，则M 点的轨迹是（ ) (Ａ）椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段 例４、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（ )（A )1716 (B )1516(C )78 (D )0例５、已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ,弦A Ｂ过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）(A ）10 (Ｂ)2０ （C ) （D )414例6、椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点， 21PF PF ⊥,则△21PF F 的面积为( ） （A )9 (B )12 (C )１0 （D )8例7、双曲线191622=-y x 右支点上一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左焦点的距离为（ ） (A )6 （Ｂ）8 （Ｃ）10 (D )1２ 例8、抛物线212y x =上的一点M 到焦点的距离为9，则点M 的坐标是 题型二：圆锥曲线标准方程特别关注：焦点位置的正确判断（首先化成标准方程，然后再判断,先定位后定量计算) 方法要求:熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的标准方程. 1、椭圆：由2x 、2y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上； 2、双曲线:由2x 、2y 项的系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上; 3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号正、负决定开口方向。

典型例题例９、若方程22112y x m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例10、当k 为何值时,方程15922=---ky k x 的曲线: （1）是椭圆； （2)是双曲线．例11、求满足下列条件的椭圆的标准方程（1)焦点坐标为()2,0±，经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2)焦点在y 轴上,4,1a b ==（3)10a b +=， c =例１2、求满足下列条件的双曲线的标准方程 （１)焦点坐标为()0,6±,经过点()2,5- (2)焦点在x 轴上，4,3a b ==（3)a = 6c =例１3、求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1）焦点坐标为()0,3--(２）准线为14x =-(3）焦点到准线距离是2 例14、若双曲线经过点()03，P ,2a b ，则双曲线的标准方程为 ．例１5、双曲线离心率为2,与椭圆22194x y +=有公共焦点,则双曲线的方程为( )A ． 2214x y -=B . 2214y x -=C . 2214y x -= Ｄ. 22145x y -= 例1６、过点(2,2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ) A . B . Ｃ. D . 例17、抛物线的对称轴为x 轴,顶点在原点,焦点在直线2360x y 上，则此抛物线的方程为题型三:圆锥曲线性质１、特别关注:几何性质与图像相结合(首先化成标准方程,先定位、再定量计算）： 2、圆锥曲线中离心率，渐近线的求法:（1）a ，ｂ,ｃ三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值; (２)a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围; (3）注重数形结合思想不等式解法1222=-y x 12422=-y x 12422=-x y 14222=-y x 14222=-x y（4）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程可以看作是由双曲线方程右边“1”变为“0”直接得到22220x y a b -=,即2222x y b y x a b a=⇒=±双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为22220y x a b -=,即2222y x a y x a b b =⇒=±（5）与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠,与双曲线22221y x a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220y x a bλλ-=≠，再由另外一个条件可求得λ的值.(６)等轴双曲线(实轴长等于虚轴长22a b ）⇔离心率e =⇔渐近线方程y x =±方程可以设为22(0)x y λλ-=≠，根据另外已知条件可以确定λ的值．3、典型例题（1)圆锥曲线基本性质例1８、已知椭圆的方程为22916144x y +=，求:该椭圆的焦点坐标、顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率.例19、已知双曲线的方程为22916144x y -=-,求:该双曲线的焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.例２0、已知抛物线的方程为2160x y +=求：该抛物线的焦点坐标、准线方程.例2１、求满足下列条件的双曲线的标准方程：(１)已知等轴双曲线上一点(P -（2) ，点(2,4)P -在双曲线上(3） 双曲线渐近线为y x =±，点(1,2)Q -在双曲线上例22、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是（ )Ａ.14 B . 12Ｃ. 2 D . 4(２）椭圆、双曲线离心率例23、椭圆的长轴长是短轴长的两倍,则它的离心率为（ ）A .13 B . 12 C . 2 D .例2４、直线220x y +-=经过椭圆22221x y a b+=的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为例２5、椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点,212PF F F ⊥,01230PF F ∠=,则C 的离心率为例２6、双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点,12PF PF ⊥,01230PF F ∠=,则C 的离心率为例２7、双曲线2221(0)y x b b-=>的顶点到渐近线的距离为2，则它的离心率为( ）A . 2B . Ｃ. 3 Ｄ.例28、双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>则C 的渐近线方程为（ )Ａ. 14y x =± B . 13y x =± Ｃ． 12y x =±D ． y x =±例29、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上,且124PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．例30、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上,且122PF PF =，则此双曲线的离心率的取值范围为 .例３１、已知双曲线22221x y a b-=的离心率()1,2e ∈，则双曲线其中一条渐近线的斜率取值范围是 .例32、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上，126PF PF a +=,且12PF F ∆的最小内角为030，则此双曲线的离心率为 .例32、已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）Ａ. 324+ B . 13- Ｃ.213+ D ． 13+例33、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ） ﻩ A .(1,2] B .(1,2) Ｃ. [2,)+∞ Ｄ.(2,)+∞例34、椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=， 则椭圆离心率e 的取值范围为 题型四:圆锥曲线焦点三角形(圆锥曲线上一点与两焦点构成的三角形）１、椭圆焦点三角形面积2tan2αb S = ；双曲线焦点三角形面积2tan2b S2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 典型例题例3５、椭圆2212516x y +=上一点Ｐ与两个焦点F F 12，,且126F PF π∠=，则12PF F ∆的面积为 .例3６、双曲线221916x y -=上一点M 与两个焦点F F 12，,且123F MF π∠=，则12MF F ∆的面积为 ．例３7、已知双曲线的离心率为２，F F 12，是左、右焦点，P 为双曲线上一点，且123F PF π∠=,12PF F S ∆=为 .题型五：点、直线与圆锥曲线的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x ,点在椭圆上⇔12222=+b y a x ,点在椭圆外⇔12222>+by a x２、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:直线方程与圆锥曲线方程联立消元（消去x 或消去y ）得到关于x 或y 的方程 特别注意：二次项系数为0的情况（１)若二次项系数为0,则方程是一元一次方程，解只有一个,直线与曲线交点只有一个 (2)若二次项系数不为0,则可按照以下情况讨论:３、直线与圆锥曲线相交于两点1122(,),(,)A x y Bx y ，则弦长公式： (1)当直线存在斜率k 时， 12AB x =-=或12AB y =-=(2)当直线斜率不存在时,弦垂直于x 轴,则12AB y y =-. （3）抛物线焦点弦长:1222sin pAB x x p α=++=(其中α为直线AB 的倾斜角）4、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 特别提醒:因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0∆>！(注：弦所在直线的斜率存在)（1)椭圆12222=+by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x ka y ; （2）双曲线22221x y ab -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y ；(3)抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0pk y =. 典型例题例38、(1)如果椭圆221369x y +=弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程 是 ；（2)已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、Ｂ两点,且线段AB 的中点在直线Ｌ：20x y -=上,则此椭圆的离心率为 ．例3９、双曲线2244x y -=的弦AB 被点(3,1)M -平分,求直线AB 的方程.例４0、斜率为1的直线过椭圆2214x y +=的右焦点,交椭圆于A 、Ｂ两点， (1)求弦AB 的长;（2)求OAB ∆的面积．例41、已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，双曲线2221(0)25x y a a -=>的左顶点为A ,若该双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直, 则实数a = .例42、已知椭圆的两个焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ，并且经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，经过椭圆的左焦点()11,0F -作倾斜角为α的直线l 交椭圆与A ，B 两点. （1)求椭圆的标准方程；（2）当060α=，求2ABF ∆的面积.例43、在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,,(的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． (1）写出C 的方程；（２)直线1y kx =+与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA OB ⊥?此时AB 的值是多少?例44、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点(在C 上.（1)求C 的方程;（2）直线l 不经过原点O ，且不平于坐标轴,l 与C 有两个交点A 、B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．题型六:动点轨迹方程:1、求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;2、求轨迹方程的常用方法：（１)直接法:直接利用条件建立,x y 之间的关系(),0F x y =；例４5、如已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4，求P 的轨迹方程.（2）待定系数法:已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。