第十四章 极限与导数一、 基础知识1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(limx f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。

类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b, 0lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或x dxdy，即00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。

由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导的必要条件。

若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：（1）)'(c =0（c 为常数）；（2）1)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；（3）;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;（7）)'(log x a x x a log 1=；（8）.1)'(ln xx = 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则 （1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）)(')]'([x u c x cu ⋅=（c为常数）；（4）)()(']')(1[2x u x u x u -=；（5）)()()(')(')(]')()([2x u x v x u x v x u x u x u -=。

8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ.9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('<x f ，则f(x)在(a,b)单调递减。

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x 0处可导，且在x 0处取得极值，则.0)('0=x f11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x 0邻域(x 0-δ,x 0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x 0)时0)('≤x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若当x ∈(x 0-δ，x 0)时0)('≥x f ，当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x 0的某领域(x 0-δ,x 0+δ)内一阶可导，在x=x 0处二阶可导，且0)('',0)('00≠=x f x f 。

（1）若0)(''0>x f ，则f(x)在x 0处取得极小值；（2）若0)(''0<x f ，则f(x)在x 0处取得极大值。

13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf[证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。

14．Lagrange 中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使.)()()('ab a f b f f --=ξ[证明] 令F(x)=f(x)-)()()(a x ab a f b f ---,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使)('ξF =0，即.)()()('ab a f b f f --=ξ15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x ∈I,0)(''>x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的；（2）如果对任意x ∈I,0)(''<x f ,则y=f(x)在I 内是上凸的。

通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn ∈R +，α1+α2+…+αn =1。

（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x 1,x 2,…,x n ∈[a,b]有f(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )≢a 1f(x 1)+a 2f(x 2)+…+a n f(x n ).二、方法与例题 1．极限的求法。

例1 求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n ；（2）)0(1lim >+∞→a a a n n n ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→ [解]（1）⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n ==+∞→22)1(lim n n n n 212221lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n ； （2）当a>1时，.111lim 1111lim 1lim =+⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞→∞→∞→n n n n n n n a a a a 当0<a<1时， .0010lim 1lim 1lim=+=+=+∞→∞→∞→n n nn n nn aa a a 当a=1时，.21111lim 1lim=+=+∞→∞→n n n n a a （3）因为.11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n而,1111lim11lim,1111limlim222=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n n nnn n n n n n所以.112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n （4）.211111lim1lim)1(lim =++=++=-+∞→∞→∞→nnn n n n n n n n 例2 求下列极限：（1）∞→n lim (1+x)(1+x 2)(1+22x )…(1+nx 2)(|x|<1)； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x 1113lim 31；（3）x x x x +---→131lim 21。

[解] （1）∞→n lim (1+x)(1+x 2)(1+22x )…(1+nx 2)=.1111lim 1)1()1)(1)(1(lim 1222xx x x x x x x n n n n -=--=-+++-+∞→∞→ （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→32132131111lim 113lim 1113lim x x x x x x x x x x x =.112lim 1)2)(1(lim 2131=+++=⎪⎭⎫⎝⎛-+-→→x x xx x x x x （3）)13)(13()13)(1(lim131lim2121x x x x x x x xx x x x ++-+--++--=+---→→=2)13)(1(lim)1(2)13)(1)(1(lim11x x x x x x x x x x ++-+-=-++-+-→→ .22-=2．连续性的讨论。

例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x ∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。

[解] 当x ∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t ，则x=t-1，当x ∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t ∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)•(2-t)2；同理，当x ∈[1,2)时，令x+1=t ，则当t ∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈--.3,2,)3)(2(4;2,1,)2)(1(222x x x x x x 所以 0)3)(2(4lim )(lim ,0)2)(1(2lim )(lim 222222=--==--=+→+→-→-→x x x f x x x f x x x x ，所以-→2l i m x f(x)=+→2lim x f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。