第四章附加题1. 请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设1/c rad s Ω=。

解：幅度平方函数是：2261()()1A H j Ω=Ω=+Ω令： 22s Ω=- ,则有：61()()1a a H s H s s -=- 各极点满足121[]261,26k j k s ek π-+==所得出的6个 k s 为：15==j es 2321321jes j +-==π12-==πj e s 2321343jes j --==π2321354j es j -==π2321316j es j +==π15==j e s 2321321je s j +-==π12-==πj e s 2321343je s j --==π2321354j es j -==π2321316j es j +==π122))()(()(233210+++=---=s s s k s s s s s s k s H a 1221)(23+++==s s s s H a 代入s=0时, ,可得,故:1=)s (H a 10=k2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率6,p f kHz =，通带最大衰减3,p A dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最小衰减25s A dB =，求出滤波器的系统函数。

解： 2,2s s p p f f ππΩ=Ω= 0.10.1101lg 101N 2lg()s pA A sp⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥ΩΩ=4.15取N=5，查表得H(p)为：221()(0.6181)( 1.6181)(1)H p p p p p p =+++++因为3,p A dB =所以c p Ω=Ω[]52222()()0.618 1.618cs p c c c c c c H s H p s s s s s =Ω=Ω=⎡⎤⎡⎤+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω⎣⎦⎣⎦3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz ，通带衰减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于 50dB 。

解：26000224000p p s s f f ππππΩ==Ω==切比雪夫滤波器的参数 ε为：0.2171ε==滤波器阶数 N 为：113.8659[/]s p ch N ch ε--⎢⎢⎥⎣⎦==ΩΩ，取整数 N ＝4。

归一化的传输函数 H(p)为： 4(1)1111()2()1.7368()NN k k k k H p p p p p ε-====⋅--∏∏其中222121sin cos 22k k k p sh jch N N φπφπ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 0,1,21k N =-12110.5580sh N φε-== 以上也可以通过查表获得。

实际的传输函数H(s) 为：162828()()7.268710(16731 4.77910)(40394 4.77910)Psp H s H p s s s s =Ω=⨯=++⨯++⨯4. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理带限模拟信号。

在理想情况下，模—数变换器把模拟信号取样，产生序列()()a x n x nT =，而数—模变换器又将取样()y n 变成限带波形()()()()sin a n T t nT y t y n T t nT ππ∞=-∞-=-∑整个系统等效于一个线性时不变模拟系统。

(1)如果系统()h n 的截止频率是8rad s π，110T kHz =，等效模拟滤波器的截止频率是多少？(2)设120kHz =，重复(1)。

()()()()()()()T T a x t x n y n y t a h n −−−→−−−→−−−→−−−→模-数变换器数-模变换器周期周期解： (1) 根据题意，当8ωπ≥时，()0j H e ω=，所以()()()0j j j Y e X e H e ωωω==在模—数变换器中()1j a j Y e X T T ωω⎛⎫=⎪⎝⎭所以8c c T πω==Ω对应于模拟滤波器的截止频率为18cc TTωπΩ==11000062521616c c f T πΩ====截止频率为625Hz 。

(2) 根据题意，当8c πω=，120T kHz =时，模拟滤波器的截止频率为18cc TT ωπΩ==120000125021616c c f T πΩ====截止频率为1250Hz 。

5. 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述()()()()10.51y n x n x n y n =----(1) 系统函数()H Z ，判断系统属于FIR 和IIR 中的哪一类以及它的滤波特性。

(2) 若输入()()2cos 0.55x n n π=+ ()0n ≥，求系统稳态输出的最大幅值。

解: (1) 根据题意，方程两边求Z 变换得()()()()110.5Y Z X Z Z X Z Z Y Z --=--()()()11110.5Y Z Z H Z X Z Z---==+ 因为从()11110.5Z H Z Z---=+看到，它既有零点，也有极点，所以它是IIR （FIR 只有零点）。

()110.5j j j e H e eωωω---=+ 可由上式画出方程的幅频特性()j H e ω，判断得这是一个高通滤波器（或者根据公式计算0ω=，2πω=，ωπ=三点时的()j H e ω基本就可以判断滤波特性了）。

(2) 根据题意，()()2cos 0.55x n n π=+ ()0n ≥，所以2πω=时输出幅值最大。

()222116210.55510.5jj jej H ej j πωππω=--===--+()2j H e ωπω==()max2y ω==6. 设()a h t 表示一模拟滤波器的单位冲激响应，()0.9,00,0t a e t h t t -⎧≥=⎨<⎩用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（()h n 表示单位取样响应，即()()a h n Th nT =）。

确定系统函数()H z ，并把T 作为参数，T 为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。

解：模拟滤波器系统函数为()0.9010.9t st a H s e e dt s ∞--==+⎰ ()a H s 的极点10.9s =-，数字滤波器系统函数应为()110.91111s T T TH z Te z e z ---==-- ()H z 的极点为0.91T z e -=，0.91T z e -=所以，0T >时，11z <，()H z 满足稳定条件。

对1T =和0.5T =，画出()j H e ω曲线如图1中实线和虚线所示。

图1由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。

且T 越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好（即选择性越好）。

反之，T 越大，极点0.91T z e -=离单位圆越远，ωπ=附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。

7. 用冲激响应不变法将以下变换为,抽样周期为T 。

（1）。

（2），n 为任意正整数。

解 （1） 由推出由冲激响应不变法可得：()()()()[]()2a jb nT a jb nT a Th n Th nT e e u n -+--==+110112211()()[]2111cos()12cos()n aT jbT aT jbT n aTaT aT T H z h n z e e z e e ze z bT T e z bT e z ∞------=------==+---=⋅-+∑（2） 先引用拉氏变换的结论，可得：01()()(1)!s t n a Ae t h t u k n -=-按Z 变换11()1k a u k az -↔-，且()()dX z kx k z dz↔-可得 0011111011()()()()()(1)!(1)!1n n n s T kn k s T k k T AT d H z h k z TA k z e z n n dz e z--∞∞----=====----∑∑ 可以递推求得000111,11(),2,3,...(1)S T S T n S T nATn e z H z AT e z n e z ---⎧=⎪-⎪=⎨⎪=⎪-⎩8. 用冲激响应不变法设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为()()2211/a Nc H j j j Ω=-ΩΩ滤波器的技术指标为()110j p p H e ωδωω-≤≤≤≤()j ss H e ωδωωπ≤≤≤假设没有混叠，问冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果是否有影响，并说明理由。

解：冲激响应不变法是在ωπ<内由()a H j Ω到()j H e ω的线性映射，该映射为()()sj a T H e H j ωωωπ=Ω=Ω≤若没有混叠，所需的滤波器阶数为()2211lg12lgps p sN δδ-----≥ΩΩ其中p p s pss s sT T ωωωωΩ==Ω。

很显然，所需的滤波器阶数与s T 无关。

将巴特沃斯滤波器的系统函数进行部分分式展开，就有()1Nka k kA H s s s ==-∑极点k s 为()1220,1,,1N k jNk c s ek N π++=Ω=-对于冲激响应不变法，离散时间滤波器的系统函数变成()111k s Nks T k A H z ez -==-∑这样()H z 的极点位于()1221,2,,1c s k s N k T js T Nz e ek N π++Ω===-c c s T ω=Ω是低通滤波器在离散时间域的3dB 截止频率，由滤波器的技术指标确定，所以()H z 的极点也不受采样周期s T 的影响。

综上，冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果没有影响。

9. 图示是由RC 组成的模拟滤波器，写出其传输函数()a H s ，并选用一种合适的转换方法，将()a H s 转化成数字滤波器()H z ，最后画出网络结构图。

题9图解：模拟RC 滤波网络的频率响应函数为()11a R j H j R j j CRCΩΩ==+Ω+Ω显然，()a H j Ω具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真。

所以应选用双线性变换法，将()a H j Ω中的j Ω用s 代替，可得到RC 滤波网络的系统函数用双线性变换法设计公式可得()()1111112111121111,121112111a z s T z z z TT z H z H s a a z a RCz a T z RC-------=⋅-+--⋅-+===⋅=--++⋅+++ ()H z 的结构图如题8解图所示。