河北省涞水波峰中学、高碑店三中2017届高三数学12月联考试题 理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．是虚数单位，若，则A ．1B ．C ．D ． 2．已知集合，，则 A ．B ．C ．D ．3．在中，是边的中点，，，则A ．B ．C ．D ．4．若等差数列满足，则的前2016项之和A ．1506B ．1508C ．1510D ．1512 5．若，，，则 A ．B ．C ．D ．6．在平面直角坐标系中，“直线与直线平行”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点， 用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则 剩余几何体的正视图（也称主视图）是8．如图，空间四边形中，点分别上，，则A ．B ．ABCDA B C D 1111EC． D．9．已知函数，则下列说法正确的是A．的图象向右平移个单位长度后得到的图象B．若，则，C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称10．已知（），把数列的各项排成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则A．67 B．69 C．73 D．7511．过抛物线（）焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则A． B． C． D．12．设实数，满足，则的最小值是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若、满足约束条件，则的最大值为．14．如图，是棱长均为1的正四棱锥，顶点在平面内的正投影为点，点在平面内的正投影为点，则．15．．16．对于函数，有如下三个命题：①的单调递减区间为()②的值域为③若，则方程在区间内有3个不相等的实根其中，真命题是 ．（将真命题的序号填写在横线上） 三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3sin cos C cB b=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2,CD =5AD =，855a =，求sin θ与b 的值。

18.(本小题满分12分)已知两数列{}n a ，{}n b 满足13n n n b a =+(*n N ∈)，11310b a =，其中{}n a 是公差大于零的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．（1）证明：平面EBD ⊥平面PAC ；（2）若直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求二面角A BE P --的余弦值．20.（本小题满分12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A B 、平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A B 、和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A B C 、、猜中的概率分别为111,,323，且A B C 、、是否猜中互不影响．（1）求A 恰好获得4元的概率；（2）设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；（3）设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y 的期望与Z 的期望之和． 21、（本小题满分12分）给定椭圆C ： =1（a ＞b ＞0），称圆x 2+y 2=a 2+b 2为椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与其“伴随圆”交于C ，D 两点，当|CD|=时，求△AOB面积的最大值．22.（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，证明：()10xf x x e -+>在()0,+∞上恒成立．波峰中学2016-2017学年度第一学期期末模拟卷参考答案一、选择题CDDD BBAB CABB 二、填空题13.4；14.；15.；16.①②（仅填①、仅填②、填①②③给2分，其它错误结果给0分）17.（Ⅰ）由已知3sin cos C c B b =，得 3sin sin cos sin C CB B=，sin 0C >，sin 3tan cos 3B B B ∴==，0B π<<，6B π∴=. ………………...4分（Ⅱ）在BCD ∆中，sin sin sin CD BC aB BDC θ==∠, 8525sin 30sin θ∴=，25sin θ∴=. .…………...8分θ为钝角，∴ADC ∠为锐角，25cos cos()1sin 5ADC πθθ∴∠=-=-=， 在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos b AD CD AD CD θ=+-⨯5542525=+-⨯⨯5=，所以5b =. …………...12分18.（Ⅰ）设{}n a 的公差为d (0d >),11310b a =,113(13)10a a ∴+=,13a ∴=.又213a a d d =+=+，7163(12)a a d d =+=+，22199(3)b a d -==+，由2a ，7a ，21b -成等比数列，得229(12)9(3)d d +=+，0d >，123d d ∴+=+，2d =，3(1)221n a n n ∴=+-⨯=+. ………………...6分（Ⅱ）因为21n a n =+，所以1(21)3nn b n =++，于是，2(133)(153)(1(21)3)nn S n =+⨯++⨯+⋅⋅⋅+++⨯，令()123353213nT n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ① 则()23133353213n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ②①-②，得 ()1231233232323213nn T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()211133922132313n n n n n +++-=+⨯-+=-⨯-，∴ 13n T n +=⋅， 故113(13)n n n S n n n ++=+⨯=+． ………………...12分19.解：（1）因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．1分 又因为,AC BD PAAC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ， 由（1）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 与平面PAC 所成的角，从而030DPO ∠=， 在Rt POD ∆中，由030DPO ∠=，得2PD OD =， 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥， 所以,AOD BOC ∆∆均为等腰直角三角形，所以2,22OB OA ==，所以22242,4PD OD PA PD AD ===-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 以O 为原点，分别以,OB OC 为,x y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()0,22,0,2,0,0,2,0,22,0,0,0,22,4,2,2,2A BC D P E -----．．．．．．．．．8分所以()()()()2,22,0,22,2,2,2,22,4,32,0,0BA BE BP DB =--=--=--=， 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，由0,0m BA m BE ==得1111120220x y x y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令12x =，得32,1,22m ⎛=- ⎝，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设平面BDP 的一个法向量为()222,,n x y z =，由0,0n DB n BP ==得2222320220x x y z ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，令22y =，得()0,2,1n =，所以3022572cos ,571932m n -+==⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 因为二面角A BE P --的平面角为锐角， 所以二面角A BE P --的余弦值为5757．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）A 恰好获得4元的概率为21113239⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）X 的可能取值为0，4，6，12，()()121224,093239P X P X ====⨯⨯=，()()21116,123233P X P X ==⨯===，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以X 的分布列为：X 0 4 6 12 P29 19 13 13．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （3）Y 的可能取值为0，4，6；Z 的可能取值为0，4．因为()()()1212521112110,4,6332393239323P Y P Y P Y ==+⨯⨯===⨯⨯===⨯=，．．．．．．．8分 ()()121212821110,433232393239P Z P Z ==+⨯+⨯⨯===⨯⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 所以51122814046,049939999EY EZ =⨯+⨯+⨯==⨯+⨯=，所以269EY EZ +=，又2111580461299339EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分由于EX EY EZ >+，所以A 所获得的金额的期望能超过Y 的期望与Z 的期望之和．．．．．．．．．．．12分21．解：（Ⅰ）由题意得，e 2==1﹣=，又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=．当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，=（1+k2）[﹣]，=，=3+，=3+，≤3+=4，当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×=．22.解：（1）当2a =-时，()()()()2221212ln ,1x x f x x x f x x x x x-+'=--=+-=-，．．．．．．．2分∴当()0,2x ∈时，()0f x '>；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<．∴()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴()f x 在2x =处取得极大值()()2ln 23,f f x =-无极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当1a =时，()111ln x xf x x x e x e -+=+-， 下面证11ln x x x e +>，即证ln 1x xx x e+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设()ln 1g x x x =+， 则()1ln g x x '=+，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()()0,g x g x '<是减函数；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()()0,g x g x '>是增函数．所以()111g x g e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 设()x x h x e =， 则()1xxh x e -'=， 在()0,1上，()()0,h x h x '>是增函数；在()1,+∞上，()()0,h x h x '<是减函数，所以()()1111h x h e e≤=<-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以()()h x g x <，即ln 1x x x x e <+，所以ln 10x x x x e +->，即11ln 0x x x e+->，即()10x f x x e-+>在()0,+∞上恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分高三数学试题试题答题纸一、选择题：123456789101112二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.18.19.20.21.22.。