2020-2021学年广东省东莞市七校高一上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ={-1，0，1}，B ={x |x 2<1}，则A ∩B 等于（ ） A ．{-1，0，1}B ．∅C ．{0}D ．{0，1}2．“lg 0x <”是 “2x <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“x ∃∈R ，2220x x ++≤”的否定是（ ）A ．x ∃∉R ，2220x x ++≤B ．x ∃∈R ，2220x x ++>C ．x ∀∈R ，2220x x ++≤D ．x ∀∈R ，2220x x ++>4．设,a b ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若x y >，a b >，则a x b y ->-B ．若a b >，则11a b<C ．若x y >，a b >则ax by >D ．若||a b >，则22a b >5．函数()21log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）6．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 （ ）7．已知121()2a =，131()2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<8． 中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小。

其中SN叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计。

按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至8000，则C大约增加了(lg 20.3010≈，lg30.4771≈)（ ）A ．10%B ．30%C ．60%D ．90%二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．已知集合A ={x |x ≥0}，集合B ={x |x >1}，则以下命题正确的是（ ）A ．x ∃∈A ，x ∉B B ．x B ∃∈，x A ∉C ．x ∀∈A ，x B ∈D ．x ∀∈B ，x A ∈10．下列函数和y x =是同一函数的是（ ）yA ．2y x =B ．lg10xy =C ．33y x =D ．2x y x=11．下列函数中，即是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ）A ．x y 3=B ．x x y =C ．3x y =D ．2x y =12．已知函数22,()4,x x x mf x x x m⎧--≤=⎨->⎩，如果函数()f x 恰有两个零点，那么实数m 的取值范围可以是（ ） A ．2m <-B ．20m -≤<C ．04m ≤<D ．4m ≥.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数2(()log 1)4f x x x =--__________．（结果用集合或区间表示）14．不等式2340x x +-<的解集．是 _____________． 15．已知函数1()log 11ax f x x -=++且(5)7,f =则(5)f -=___________ 16． 设函数2127,3(),3x x f x x x ax a --≤+-⎧=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 的的取值范围是_____四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）设m 为实数，集合{}|14A x x =-≤≤，{}|2B x m x m =≤≤+.（1）若3m =，求A B ，()R C A B ；（2）若AB =∅，求实数m 的取值范围．18．（本小题12分）计算下列各式的值：（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）71log 443log 27lg 25lg 47++.19．（本小题12分）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身 器材，硬化造价为100元/2m ．设矩形的长为()m x ．（1）将总造价y （元）表示为长度()m x 的函数，并求出定义域；（2）当()m x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．20．（本小题12分）已知函数2log t x =，222()(log )6log 8f x x x =-+（1）求函数2log t x =在区间[1,32]上的最大值与最小值； （2）求函数()f x 的零点；（3）求函数()f x 在区间[1,32]上的值域．21．（本小题12分）已知函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数． （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若对任意[,)x t ∈+∞，不等式3()5f x ≥恒成立，求实数t 的最小值．22．（本小题12分）已知函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（1）画出函数()f x 的图象，写出()f x 的单调区间，并指出每个区间的单调性；（2）若关于x 的不等式2[()](2)()20f x a f x a -++≤恰有3个整数解，求实数a 的取值范围．2020-2021学年第一学期东莞市七校联考答案高一数学选择题：1、C 2． A3．D4．D5．B6． B 7．A 8． B9．AD 10．BC 11．BC 12．BD填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．_(1,4]_． 14．_(4,1)-_ 15．__5-_． 16．[3,)+∞． 解答题17．解：（1）若3m =，则{}|35B x x =≤≤ …………………1分 ∴{}|15AB x x =-≤≤ …………………3分 又{}|34AB x x =≤≤ …………………5分∴{()|3R C A B x x ⋂=<或}4x >. …………………7分 (2) 因为AB =∅， 所以21m +<-或4m >， …………9分所以3m <-或4m >. …………10分 18．计算下列各式的值：（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）71log 43loglg 25lg 47++.解：（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2132329221433⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦34411=2992=--+；…………6分（如果结果没有全对，4个指数式的值，每算对一个给1分）（2）71log 434331log lg 25lg 47log 2lg 52lg 324++=+++()11lg5lg 2344332244++++=+==. …………12分 （如果结果没有全对，算出式子中的34和14，对一个给1分，能化出2lg52lg 2+给1分，能得出()lg5l 22g 2+=再给1分）19．解：（1）因为矩形的长为()xm ，则矩形的宽为()200m x， …………………1分 则中间区域的长为()4x m -，宽为()2004m x-， ()4,50x ∈ …………………4分 则()()2002001004420020044y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+---⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ …………………6分 整理得20018400400y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，()4,50x ∈ …………………7分 （2）200x x +≥= …………………9分 当且仅当200x x=，即()4,50x =时取等号， …………………10分200184004001840040018400y x x ⎛⎫=++≥+⨯=+ ⎪⎝⎭………………11分所以当x =时，总造价最低为18400+. …………………12分 20．解:（1）因为对数函数2log t x =是增函数，在区间[1,32]上，1x =时，t 有最小值2log 10=，32x =时，t 有最大值2log 325= ……………4分（2）令2222()(log )6log 8680f x x x t t =-+=-+=，解得2t =或4t = ……………5分2t =时，2log 2,4x x ==，4t =时，2log 4,16x x == ……………7分因此函数()f x 的零点为4x =和16x = ……………8分 （3）22222()(log )6log 868(3)1f x x x t t t =-+=-+=-- ……………9分由(1)得05t ≤≤，所以3t =时，()f x 有最小值1- ……………10分 所以当0t =时, ()8f x =，当5t =时, ()3f x =， ……………11分因此,函数()f x 的值域为[1,8]- ……………12分21．解（1）函数2()21x f x a =-+（a R ∈）为奇函数，所以()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++， ……………1分所以22222(12)2222121211221x x x x x xx a -+=+=+⋅==+++++， ……………3分 解得1a =； ……………4分（2）2()1,21x f x x R =-∈+是增函数， ……………5分 证明：1212,,x x R x x ∀∈<且，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-212121212121x x x f x f =12212212x x +-+ ……………6分 =()()()21212121222x x x x ++-， ……………7分022,22,212121<-∴<∴<x x x x x x ，又()()0212121>++x x ， ……………8分()()021<-∴x f x f ，即()()21x f x f <，所以()x f 是增函数. ……………9分（3）由（2）可知，[,)x t ∈+∞时，不等式3()5f x ≥恒成立， 只需()f x 的最小值3()5f t ≥……………10分 即 231215t-≥+，等价于不等式22215t +≤，即215t +≥，解得2t ≥ ……………11分 所以，即实数t 的的最小值是2． ……………12分22．解：函数()f x 的图象如图所示， ……………3分()f x 在区间(,0)-∞和1(,)2+∞上单调递减，在区间1(0,)2上单调递增 ……………5分（2）由2[()](2)()20f x a f x a -++≤得[()][()2]0f x a f x --≤ ……………5分当2a >时，解得2()f x a ≤≤，当()2f x =时， 1x =-，结合图象可知，不等式的三个整数解为1,2,3x =---所以(3)(4)f a f -≤<-，所以1220a ≤<； ……………7分当2a =时，由2[()](2)()20f x a f x a -++≤解得()2f x =，此时方程有唯一解1x =-，不符合条件； ……………9分 当2a <时，解得()2a f x ≤≤，因为()2f x =时， 1x =-，由图象可知，不等式的三个整数解为1,0,1x =-,所以(1)(2)f a f ≥>，所以20a -<≤； ……………11分 所以a 的取值范围是20a -<≤或1220a ≤<， ……………12分。