武汉理工大学 2003 年研究生入学考试试题
课程 数学分析 （共 页，共 题，答题时不必抄题，标明题目序号）
一、计算下列各题（12′×6=72分）
1．求极限x t x x t x t sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间
断点，并指出其类型。

2．求dx e e x x
2arctan ⎰
3．计算二重积分dxdy e y x D },max{22⎰⎰，其中⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=1010)
,(y x y x D 4．计算曲线积分224y x ydx xdy I L +-=⎰
，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周（R ＞1），取逆时针方向。

5．设xdx x I n n cos sin 4
0⎰=π，n =0，1，2，…，求n n I ∑∞=0
6．计算dxdy z z ydzdx xdydz )2(2-++⎰⎰∑
，∑为曲面22y x z +=介于
z =0与z =1之间的部分，取下侧。

二（15分）、设)(x f 在0=x 的某邻域内的二阶导数存在且连续，0))(3sin (lim 230=+→x
x f x x x ，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''。

三（15分）、假设f 是一可微函数，求曲面)(x y xf z =上任一点)0(),,(0000≠x z y x M 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点。

四（15分）、设),,(z y x F 的一阶偏导数处处存在且连续，且0>≥∂∂+∂∂-∂∂αz
F y F x x F y （α为常数），令)0(),sin ,cos ()(≥-=t t t t F t f ，求证+∞=+∞→)(lim t f t 。