蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设 P (x 0 , y 0 ) ，则它（1） 关于 x 轴对称的点为(x 0 ,- y 0 ) ；（2） 关于 y 轴对称的点为(-x 0 , y 0 ) ；（3） 关于原点对称的点为(-x 0 ,- y 0 ) ；（4） 关于直线 y = x 对称的点为( y 0 , x 0 ) ；（5） 关于直线 y = -x 对称的点为(- y 0 ,-x 0 ) ；（6） 关于直线 y = b 对称的点为(x 0 ,2b - y 0 ) ；（7） 关于直线 x = a 对称的点为(2a - x 0 , y 0 ) ；（8） 关于直线 y = x + a 对称的点为( y 0 - a , x 0 + a ) ;（9） 关于直线 y = -x + a 对称的点为(- y 0 + a , a - x 0 ) ;（10） 关于点(a , b ) 对称的点为(2a - x 0 ,2b - y 0 ) ；（11）按向量(a , b ) 平移得到的点为(x 0 + a , y 0 + b ) .二、曲线的变换.曲线 F (x , y ) = 0 按下列变换后所得的方程：(1) 按向量(a , b ) 平移，得到 F (x - a , y - b ) = 0 ；(2) 关于 x 轴对称，得到 F (x ,- y ) = 0 ；(3) 关于 y 轴对称，得到 F (-x , y ) = 0 ；(4) 关于原点对称，得到 F (-x ,- y ) = 0 ；(5) 关于直线 x = a 对称，得到 F (2a - x , y ) = 0 ；(6) 关于直线 y = b 对称，得到 F (x ,2b - y ) = 0 ；(7) 关于点(a , b ) 对称，得到 F (2a - x ,2b - y ) = 0 ；(8) 关于直线 y = x 对称，得到 F ( y , x ) = 0 ；(9) 关于直线 y = x + a 对称，得到 F ( y - a , x + a ) = 0 ；(10) 关于直线 y = -x + a 对称，得到 F (-x + a , a - y ) = 0 ； (11) 纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程 F ( x, y ) = 0 ；a(12) 横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程 F (x , y) = 0b三、两个函数的图象对称性1:左右平移: y = f (x ± a ) （ a > 0 ）的图像可由 y = f (x ) 的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位而得到； y = f (mx ± a ) （ m > 0, a > 0 ）的图像可由 y = f (mx ) 的图像向左（+）或向右（—）平移 a个单位而得到;m2. 上下平移： y = f (x ) ± b （b > 0）的图像可由 y = f (x ) 的图像向上（+）或向下（—）平移b 个单位而得到；3. y = f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 y 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与y = g (x ) 若满足 f (x ) = g (-x ) ，即它们关于 x = 0 对称。

4. y = - f (x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 x 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与y = g (x ) 若满足 f (x ) = -g (x ) ，即它们关于 y = 0 对称。

5. y = - f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于原点对称；6. y =| f (x ) |的图像可如此得到： y = f (x ) 的图像在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方，其余不变；7. y = f (| x |) 的图像：保留 y = f (x ) 的图像在 y 轴右侧的部分，并沿 y 轴翻折到y 轴左边部分代替原 y 轴左边部分； 8. y = f (x + a ) 与 y =f (b - x ) 关于直线 x = b - a对称(在函数 y = f (a + x ) 上任取一 2点(x , y ) ，则 y = f (a + x ) ，点(x , y ) 关于直线 x = b - a对称点（ b - a - x ，y 1）。

11111 121由于 f [b - (b - a - x 1 )] = f [b - b + a + x 1 ] = f (a + x 1 ) = y 1 ,故点（ b - a - x 1 ，y 1）在函数y = f (b - x ) 上。

由点(x 1, y 1) 是函数 y = f (a + x ) 图象上任一点因此 y = f (a + x ) 与y = f (b - x ) 关于直线 x = b - a 对称。

)；换句话说, y = 2f (a - x ) 与 y = f (x - b ) 关于直线x =a +b对称; 换句话说,2y =f (-x) 与y = f (x -b) 关于直线x =b对称.29.y = f (x) 与y = 2a -f (x) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y = f (x) 与y =g(x) 若满足f (x) +g(x) = 2a ，即它们关于y =a 对称；10.1.y =f (x)与y = 2b -f (2a -x) 关于点(a, b) 对称。

换种说法：y = f (x) 与y =g(x) 若满足f (x) +g(2a -x) = 2b ，即它们关于点(a, b) 对称。

特别提醒①函数y = f (x) 与函数y =f (-x) 的图象关于直线x = 0 (即y 轴)对称.a +b②函数y = f (mx -a) 与函数y =f (b -mx) 的图象关于直线x = 对称.2m特殊地:y =f (x -a) 与函数y = f (a -x) 的图象关于直线x =a 对称③函数y=f (x) 的图象关于直线x =a 对称的解析式为y = f (2a -x)④函数y =f (x) 的图象关于点(a, 0) 对称的解析式为y =-f (2a -x)⑤函数y=f (x) 与a -x = f (a -y) 的图像关于直线x +y =a 成轴对称。

11.伸缩变换: y =Af (x)( A > 0) 的图像，可将y =不变，纵坐标变为原来的 A 倍而得到；f (x) 的图像上每一个点的横坐标12.y =f (kx)(k > 0) 的图像，可将y =1 f (x) 的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍而得到；k13.y = f -1(x) 与y = f (x) 关于直线y =x 对称；14.14.y =-f -1(-x) 的图像与y = f (x) 的图像关于直线y =-x 对称；15.函数y = f (a +mx) 的图像与y = f (b -mx) 的图象关于直线x =b -a对称。

2m四.单个函数的图象1.若对任意x,f (x +a) = f (b -x) ，则y= f (x) 的图像关于直线x =a +b对称；反2之亦然;若对任意x ，f (x) = f (c -x) ，则y = f (x) 的图像关于直线xc= 对称，2反之亦然；若f (x +a) 是偶函数，则y =f (x) 关于x =a 对称。

（在y =f (x) 上c任取一点 (x , y ) ， 则 y = f (x ) ， 点 (x , y ) 关于直线 x =a + b的对称点11 1 1 1 12(a + b - x 1 , y 1 ) ，当x = a + b - x 1 时f (a + b - x 1 ) = f [a + (b - x 1 )] = f [b - (b - x 1 )] = f (x 1 ) = y 1 ，故点(a + b - x 1 , y 1 ) 也在函数 y = f (x ) 图象上。

由于点(x 1, y 1) 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于 直线 x =a +b 对称（特别地， a = b = 0 时，该函数为偶函数））.22. 对任意 x ， - f (x + a ) = f (a - x ) （ 或 f (x ) = - f (2a - x ) 的充分必要条件是y = f (x ) 的图像关于点(a ,0) 对称；3. 若 f (x ) 有两条对称轴 x = a 和 x = b (a < b ) (证明 ： ∵ f (a + x ) = f (a - x ) 得f (x ) = f (2a - x ) , f (b + x ) = f (b - x ) 得 f (x ) = f (2b - x )∴ f (2a - x ) = f (2b - x ) , ∴ f (x ) = f (2b - 2a + x )∴函数 y = f (x ) 是周期函数，且 2b - 2a 是一个周期。

),或有两个对称点(a ,0) 和(b ,0) （ a < b ）,则2(b - a ) 是 f (x ) 的一个周期；4. 若 f (x ) 以 x = a 为对称轴，且以(b ,0) 为对称中心，则4(b - a ) 是 f (x ) 的一个周期；5. y = f (x ) 的 图 像 关 于 点 (a , b ) 对 称 的 充 分 必 要 条 件 是 对 任 意 x ,f (a + x ) + f (a - x ) = 2b 成立（更一般地，若 f (a + x ) + f (b - x ) = c ，则 y = f (x ) 的 图像关于点( a + b , c)对称(在函数 y = f (x ) 上任取一点(x , y ) ，则 y = f (x ) ，点2 21 11 1 (x , y ) 关于点（ a + b ， c）的对称点（ a + b - x ，c －y 1），当 x = a + b - x 时，112 21 1f (a + b - x 1 ) = c - f [b - (b - x 1 )] = c - f (x 1 ) = c - y 1 ,即点（ a + b - x 1 ， c － y 1） 在函数y = f (x ) 的图象上。

由于点(x 1, y 1) 为函数 y = f (x ) 图象上的任意一点可知函数 y = f (x ) 的图象关于点（a +b 2 ， ）对称。

（注：当 a =b =c =0 时，函数为奇函数。

） 2特别提醒：⎨f (x - a ) + f (x ) = b6. 若 f (x + a ) = f (x + b ) ，则 f (x ) 是周期函数， b - a 是它的一个周期7. 对于非零常数 A ，若函数 y = f (x ) 满足 f (x + A) = - f (x ) ，则函数 y = f (x ) 必有一个周期为2 A 。