1, 支路 j与节点 i关联且支路方向离开节 点 a ij 1, 支路 j与节点 i关联且支路方向指向节 点 0，支路 j与节点 i不关联
i 1, 2,, n; j 1, 2,, b
关联矩阵A
1 2 3 4 5 6
1 (1) 4 (4) 6 2 3 (2) 5 (3)
ut u 若 u l
则 B f u Bt
ut 1l Bt ut ul 0 ul
所以 ul Bt ut ——KVL方程的另一种矩阵形式
(2)
Qf i 0 用Qf 表示的KCL方程的矩阵形式为：
(1)
1 2 4 (4)
5 (3) 3 6
§1-2 关联矩阵A、Bf、Qf 及其特性
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
如果两件事之间发生了关系，则称这两件事有关联。
描述节点、回路、割集与支路之间关系的矩阵称为关联矩阵。
关联矩阵A
描述图的支路与节点的关联性质，又称为节点支路关联矩阵。 如果一条支路连接于某个节点，则称此支路与该节点关联。 对一联性质可用nb阶矩阵Aa表示。其中的元素aij定义如下：
i 1, 2,, n 1; j 1, 2,, b
n-1为独立割集数，b为支路数，所以Q为(n-) b阶矩阵。 描述图的基本割集与支路的关联性质的矩阵称为基本割集矩 阵Qf。
基本割集矩阵Qf
树支
1 2 3 4
连支
5 6
(1)
1
C1
(2) 5 2
C2
(3) 3
1 1 0 0 1 | 0 1 | 1 1 Qf 2 0 1 0 1 | 3 0 0 1 0 1 1 Ql 1t
it i 若 i l
则 Q f i 1t
i t Ql it Ql il 0 i l
所以 it Ql il ——KCL方程的另一种矩阵形式
u AT un ——KVL方程的另一种矩阵形式
| 1 0 0 | 0 1 0 | 0 0 1
1l
B f Bt | 1l
基本割集矩阵Qf
描述图的割集与支路的关联性质的矩阵称为割集关联矩阵Q。 如果一个割集包含某一支路，则称此割集与该支路关联。
1, 支路 j与割集 i关联且方向一致 qij 1, 支路 j与割集 i关联且方向相反 0，支路 j与割集 i不关联
4 (4) 6
C3
Q f 1t | Ql
以A、Bf、Qf表示的KCL、KVL方程 的矩阵形式
有向图中支路的方向代表该支路电流和电压的参考方向。
设支路电流向量i、支路电压向量u和节点电压向量un分别 代表网络的b个支路电流、b个支路电压和(n-1)个节点电压。 即：
i1 i i 2 ib
l为独立回路数，b为支路数，所以B为lb阶矩阵。l=b-n+1。 描述图的基本回路与支路的关联性质的矩阵称为基本回路矩 阵Bf。
基本回路矩阵Bf
树支
1 2 3 4 1 1 0 Bf 5 0 1 1 6 1 1 1 Bt
连支
4 5 6
(1)
(2) 1 2 4 (4) 6 3 5 (3)
Aa
(1) 1 0 0 1 0 1 (2) 1 1 0 0 1 0 (3) 0 0 1 0 1 1 (4) 0 1 1 1 0 0
增广关联矩阵
删去Aa的任一行即得到(n-1)b阶的矩阵A。通常被删去 的行所对应的节点可作为参考节点。 关联矩阵A与有向图一一对应。
基本回路矩阵Bf
描述图的回路与支路的关联性质的矩阵称为回路关联矩阵B。 如果一个回路包含某一支路，则称此回路与该支路关联。
1, 支路 j与回路 i关联且方向一致 bij 1, 支路 j与回路 i关联且方向相反 0，支路 j与回路 i不关联
i 1, 2,, l ; j 1, 2,, b
Ai 0 Qi 0 Bu 0
u1 u u 2 ub
un1 u un n 2 un1
则KCL、KVL的矩阵形式可分别表示为：
以A、Bf、Qf表示的KCL、KVL方程 的矩阵形式
Bf u 0 用Bf 表示的KVL方程的矩阵形式为：