二、第一类曲线积分的计算
定理13.1设有光滑曲线
即 , 连续.若函数 在 上连续，则它在 上的第一类曲线积分存在，且
证明如前面定义一样，对 依次插入 ，并设 ， .注意到 记小弧段 的长度为 ，那么
由 的连续性与微分中值定理，有
所以,当 , 时,
这里 设
则有
令 要证明的是
因为复合函数 关于 连续，所以在闭区间 上有界，即存在 ，对一切 有
注意，这个积分刚好是椭圆面积的两倍．
例13-4图例13-5图
例13.7计算曲线积分 ．其中 分别是下面的曲线段．
(1)抛物线 上从点 到点 的一段弧；
(2)直线 上从点 到点 的一段弧；
(3)从点 到沿 轴点 ，再由 竖直向上至 ．
解：(1)将积分化为对 的定积分，起点和终点对应的 的值分别是 ， 用 代替，得到
图13-6图13-7
定理13.2（Green公式）若有界闭区域 的边界由分段光滑的曲线L所围成，函数 在区域 中具有一阶连续偏导数，则有
，
其中 取正向．
证明：(1)．设区域 是有界单连通的闭区域，平行于坐标轴的直线与 的边界的交点不多于两个，即 既是 型，又是 型的区域．不妨设
或 ，则
同理可证
．
于是
,
其中 叫做被积函数， 称为积分弧段．当 是光滑封闭曲线时，记为 ．
类似地，对于三元函数 在空间的曲线 上光滑，也可以定义 在曲线 上对弧长的曲线积分 ．
这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为
由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：
性质1（线性性）若 在曲线 上第一类曲线积分存在， 是常数,则
(2)将积分化为对 的定积分，起点和终点对应的 的值分别是 ， 用 代替，得到
(3)曲线可以分为两段，其中一段的曲线方程为 ，另一段的曲线方程为 ，所以
从上面的例子可以看出，尽管积分的路径不同，但是积分的值仍然有可能相同．
例13.8计算 ,其中 为(1)半径为 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；（2）从点 沿 轴到点 的直线段．
在这里的积分的上限下限分别对应的是终点和起点．
求曲线积分的一般步骤是：
1．将 用各自的参数方程代替；
2．将曲线的终点和起点所对应的参数的值作为定积分的上下限；
3．将曲线积分化为定积分，计算定积分，即得曲线积分的值．
特别地，当 是平面 上的光滑曲线时，设曲线方程为 ，起点和终点对应的 的值分别是 ，则有
3.求 .其中曲线 由折线 及曲线 两段组成,起点为 ,其中 ,
4.求 .其中 是由直线 , , 及 构成的正向矩形回路.
5.求 .其中 为曲线 上对应于 从 到 的一段.
6.试将 表示成定积分.其中 是以 , 及 为顶点的三角形的正向.
7.求 .其中 为有向闭曲线 ,这里 依次为点 , , .
8.一力场由沿横轴正方向的常力 所构成.试求当一质量为 的质点沿圆周 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.
再由 在 上连续，所以它在 上一致连续.即当任给 ，必存在 ，当 时有
从而
所以
再从定积分定义得
所以当 两边取极限后，即得所要证的结果.
特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为
则
．
例13.1计算曲线积分 ，其中 是抛物线 上的点 与点 之间的一段弧．（如图13.1-2）
图13-2
解：积分曲线由方程
给出，所以
＝ ．
类似地，有
＝ ；
＝ ．
分别称为函数在有向曲线 上对坐标 和对坐标 的曲线积分．这些积分统称为第二类曲线积分．
若 为封闭有向曲线,则记为 、 或 ．
由对坐标的曲线积分的定义可以知道，第二类曲线积分具有下面的性质：
１． ；
２（线性性）：若两个向量值函数 ( )存在,则
其中 为常数．
３（路径可加性）：设定向分段光滑曲线 分成了两段 和 ，它们与 的取向相同（记 ），则向量函数 在 上的第二类曲线积分的存在性等价于 在 和 上的第二类曲线积分的存在性．且有
= .
例13.2计算积分 ，其中 为圆周: .
解：由于 为圆周： ，所以
．
对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线 由参数方程 ， 确定，则有 ，从而
．
例13.３计算曲线积分 ，其中 是螺旋线 上相应于 从 到 的一段弧．
解：由上面的结论有
例14.4计算 ,其中 为球面 被平面 所截得的圆周.
注意 ，而 ，所以
．
再对上面的式子在所有小弧段的长度的最大值 趋于零时取极限，若此极限存在，则它就是变力 所作的功．即
．
从上面的分析可以看出，这个极限和前面讲的定积分、重积分、第一类曲线积分有很多的相似之处，它们都是一个乘积和式的极限．这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二类曲线积分.
定义13.2(对坐标的曲线积分或第二类曲线积分)设 是空间中的一条有向光滑的曲线，两个端点分别为 和 . 为定义在曲线 上的函数．在 内依次插入点 ，并令 , .并且这些点是从 到 排列的.这样就将曲线 分为 个小的弧段 ( )．设 ， ， ．记各弧段长为 , .在小弧段 上任意取一点 ，若 存在，则称之为函数 在有向曲线 上对坐标 的曲线积分(或称第二类曲线积分)．记为 ．即
在曲线 上第一类曲线积分也存在，且
；
性质２（对路径的可加性）设曲线 分成两段 .如果函数 在 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在 和 上的第一类曲线积分也存在.反之，如果函数 在 和 上的第一类曲线积分存在，则函数 在 上的第一类曲线积分也存在.并且下面等式成立
．( 表示 )
对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．
6.求 ，其中 为双曲线 从点 到点 的一段弧。
7.计算 其中 为连接 及 两点的直线段.
8.计算 其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所扇形的整个边界.
9.计算 其中 为折线 这里 、 、 、 依次为点 、 、 、 。
10.计算 ，其中 为曲线 , .
11.设 为双纽线 ,计算积分 .
12.设 为椭圆 ,其周长为 ,求 .
(2)．若平行于坐标轴的直线与 的边界的交点多于两个，可以引入辅助曲线将区域划分为有限个区域使得每个部分符合(1)中所讨论的形式．如图13-9所示.
将 分成三个既是 -型区域又是 -型区域 ， ， ．于是图13-9
( 对 来说是正方向)
(3)．若区域 不止有一条闭曲线所围成,如图13-10.
这时可适当添加直线段 ,则 的边界曲线由 , , , , , , 及 构成.这样就把区域转化为(2)的情形来处理.由(2)可知图13-10
如图13-1我们可以将物体分为 段，分点为 ,每一小弧段的长度分别是 ．取其中的一小段弧 来分析．在线密度连续变化的情况下,只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 的密度 来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 ．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即
我们知道闭区域有两种，一种是单连通的，一种是多连通的．若区域D中的任意一条封闭曲线的内部的所有的点都属于D，则D是单连通的，否则是多连通的．如图13-6是单连通的，图13-7是多连通的．例如区域 是单连通的，而区域 是多连通的．通俗的说，多连通区域就是有“洞”的区域．
对于区域的边界曲线，我们规定它的正方向如下：当观察者沿着曲线移动时，区域D总是在他的左边．由此定义可以知道，当区域D是单连通区域时，其边界曲线的正方向时逆时针方向．当D是多连通时，如其边界曲线为L,则其外面的曲线的方向是逆时针的，内部的曲线的方向是顺时针的．如图．
9.一力场中的力的大小与作用点到 轴的距离成正比,方向垂直向着该轴.试求当质量为 的质点沿圆周 由点 依正向移动到点 时,力场所作的功.
10.求 是从点 到点 的一段直线.
参考答案
1.
2.
3.4.5.Fra bibliotek6.7.
8.
9.
10.
第三节Green公式及曲线积分与路径的无关性
一Green公式
本节将建立对坐标的曲线积分与二重积分之间的联系．即要建立起平面区域 上的二重积分与 的边界曲线 上的第二类曲线积分之间的联系.
定义13.1设 是 面内的一条光滑曲线，函数 在 上有界，用 上任意插入一点列 将曲线分为 个小段.设第 段的长度为 ( )，又 为第 个小段上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，若当各小段的长度 的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数 在曲线 上对弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记作 ,即
第
定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.
第一
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
．
用 表示 个小弧段的最大长度.为了计算 的精确值,取上式右端之和当 时的极限，从而得到
即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分.抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：
， ，
注意到 ，所以由对弧长的曲线积分公式，得到
由此得到两类曲线积分之间的联系：
．
类似地，可以得到两类空间曲线积分之间的联系：
这种联系还可以用向量表示：
．
其中 ， 为在曲线上点 处的单位切向量， 称为有向曲线元．
习题13.2
1.求 .其中曲线 为圆周 ,积分方向为顺时针方向, .