高考理科数学选填压轴题训题型一：集合与新定义 (2013福建理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．D A ．A ＝N*，B ＝NB ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q(2013广东理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S中，则下列选项正确的是( )．BA ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉SB ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈SC ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈SD ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S 提示：特殊值法，令x=1,y=2,z=3,w=4即得。
题型二：平面向量（2013北京理13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ．4 (2013湖南理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．AA ．11] B ．12] C ．[11] D ．[12]解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO1，P ′O1，故选A ．(2013重庆理10)在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP|＜12，则|OA |的取值范围是( )．D A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝ 解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2，即2<≤所以|OA |的取值范围是⎝，故选D ．(2013山东理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．7/12(2013天津理12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 .1/2（2013浙江理17）设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________。
2 解：由已知得到：22222212||()||22b b xe ye b x y xy ==+⇒=++⨯⇒22222||x x bx x==+，设22min 21(1)4||y x t t x b =∴++=∴的最大值为4，所以答案是2。
（2013安徽理9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足60BAD ︒∠=2,OA OB OA OB ===则点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是( )D（A ）（B ）（C ） （D ）【解析】考察三点共线向量知识:1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若PC PB PA P C B A .在本题中，32cos 4cos ||||πθθθ=⇒==⋅⋅=⋅OB OA OB OA .建立直角坐标系，设A(2,0),).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S题型三：线性规划（2013北京理8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）C A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， (2013广东理13)给定区域D ：44,4,0.x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定__________条不同的直线．6（2013广西理15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .[1/2,4]题型四：基本不等式(2013山东理12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为( )．BA ．0B ．1C ．94 D ．3(2013天津理14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,取得最小值. -2 题型五：三角函数与三角形（2013广西理12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中不正确的是（ ）C1||2||a a b+（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2y f x x π==的图像关于对称（C ）()f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 （2013全国一理15）设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=__ (2013全国Ⅱ理15)设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin θ＋cos θ＝__.5- (2013重庆理9)4cos 50°－tan 40°＝( )．CAB． CD．1解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒ ＝2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒＝12cos402sin40sin4022cos40⨯︒+⨯︒-︒=︒. （2013浙江理7）设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则（ ）D A. 090=∠ABC B. 090=∠BAC C. AC AB = D.BC AC = 解：利用特殊值法可以解决，如CP AB ⊥或PB PA =即可求出答案。
（2013浙江理16）ABC ∆中，090=∠C ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________(2013辽宁理9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )．CA ．b ＝a3B ．31b a a =+C ．331()0b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=解析：若B 为直角，则0OB AB ⋅=，即a 2＋a 3(a 3－b )＝0，又a ≠0，故31b a a=+； 若A 为直角，则0OA AB ⋅=，即b (a 3－b )＝0，得b ＝a 3；若O 为直角，则不可能．故b －a 3＝0或b －a 3－1a＝0，故选C.（2013湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+， 正方形数 2(,4)N n n =，五边形数 231(,5)22N n n n =-， 六边形数 2(,6)2N n n n =-，……………………… 可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_____. 1000 题型六：概率统计(2013四川理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )CA ．9B ．10C ．18D ．20(2013重庆理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．590（2013湖北理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）BA ．126125B ．65C ．168125D ．75(2013辽宁理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．11(2013四川理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )C A.14 B.12 C.34 D.78题型七：数列（2013安徽理14）如图，互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。