常微分方程第四章测试试卷(3)班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分）1．——————称为n 阶齐线性微分方程。
2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里()t a 1和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2是方程解的冲要条件是―——————。
３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。
４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。
５．若方程()()022=++y x q dx dyx p dxy d 中满足————条件，则方程有形如∑∞==0n n n x a y 的特解。
６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。
７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________.１０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.二． 计算（30分）１． 求通解yy y 2'1''2+=２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+⎰x tdt t x x xφφ，求()x φ 四．证明题（20分）1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。
常微分方程第四章测试试卷(3)参考答案 一．填空１．()()()01111=++++---x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n ，其中()()n i t a i ,2,1 =在区间上连续２．[][]0,,'21121=+x x w a x x w３．()t m m m m m k e B t B t B t B t B t x λ+++++=---∧122110 ４．()n n n n a a a F ++++=--λλλλ111５．()x p 和()x q 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为R x < ６．３７．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+=⎰-dt e x c c x x dt t a 121111８．常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法，幂级数解法。
９、∑==ni i i x c x 1 其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数１０、()t x x c x ni i i +=∑=1其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数二． 计算１．解：方程不显含x代入方程得；解得y C P 121=+,,dydPP y P y =''='令,212yP dy dP P +=故方程的通解为２．解：特征方程 特征根对应齐线性方程的通解为 设原方程的特解为原方程的一个特解为 故原方程的通解为(),11'=y ()16/5221=-+∴e C C,11-±=∴y C P ,11-±=y C dxdy即.12211C x y C C +±=-,0122=+-r r ,121==r r .)(21x e x C C Y +=,)(2*xe b ax x y +=,]2)3([)(23*xe bx x b a ax y +++='则,]2)46()6([)(23*xe b x b a x b a ax y +++++=''代入原方程比较系数得将)(,)(,***'''y y y ,21,61-==b a ,2623*xx e x e x y -=.26)(2321x x x e x e x e x C C y -++=,1)1(=y ,1)31(21=-+∴e C C ,]6)1()([3221x e x x C C C y +-+=',31121+=+e C C ,651221+=+e C C 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,121,61221e C e C所以原方程的特解为３．解：由解的结构知非齐两解之差为相应齐方程的解 故 x y y sin 12=- x y y cos 13=-是齐方程的两解 且线性无关 则齐通解为x C x C Y sin cos 21+= 非齐x x C x C Y ++=sin cos 21４．解：由观察可得一特解为xe y =又因为0≠x ，故方程可变为()()0/2/12''=+++-x x x y x y为二阶齐线性方程，()x p 为()x x /12+- 则由刘维尔公式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+=⎰-dx e y c c y y dxx p 21111得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2313c x c e y x５．解：令原方程化为.26])121(612[23x x x e x e x e x e e y -+-+-=,ln x t e x t ==或,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--,332223t e Dy y D y D =--所对应的齐方程为其特征方程为特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为22bx be y t ==*代入原方程得21-=b ，即22x y -=*所给欧拉方程的通解为６解：设方程的解为∑∞==0n n n x a y则∑∞=-=01'n n n x na y.33222233t e dtdydt y d dt y d =+-,0322233=+-dtdydt y d dt y d ,03223=--r r r .3,1,0321=-==r r r .33213321x C xC C e C e C C Y t t ++=+=-.2123321x x C x C C y -++=21)1(-∞=∑-=''n n n x a n n y ,0,,=-'-'''''y y x y y y y 带入将,00=-∑∞=nn nx a1-∞=∑-n n n x na x nn n x a n n ∑∞=+++02)1)(2(,0])1()1)(2[(02≡+-++∑∞=+nn n n x a n a n n三、1.解：由题意可得：()()()()x x y x dt t t y xcos 1sin 20-+=⎰两边对x 求导得 ()()()()()()[]x x y x x y x x y sin cos '1sin 2--= 即 ()()()()x x y x x y cos '1sin -=()()()()x x yctg x x y dx dy sin 1sin cos 1+-=-= 为一阶线性方程 ()()x ctg x p -= ()()x x Q sin 1= ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x e y dx x ctg dxx ctg sin 1 即 ()()c x x y +=sin 12.证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数n c c c ,,,21 使得b t a x c x c x c n n ≤≤≡+++,02211 （1）依次对t 微分此恒等式，得到()()()0'''2211≡+++t x c t x c t x c n n ()()()0''''''2211≡+++t x c t x c t x c n n,22+=+n a a n n,2,1,0=n ,313a a =,1515a a =,!)!12(112+=+k a a k ,202a a =,804a a = ,2!02kk k a a =,3,2,1=k ∑∑∞=+∞=++=0121020!)!12(!2n n n n n n x a n x a y()()()()()()01212111≡+++---t x c t x c t x c n n n n n （2）把（1）和（2）看成关于n c c c ,,,21 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是()()()[]t x t x t x w n ,,,21 ，于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即()()b t a t w ≤≤≡0 证毕。
2 .证明:设()()()12,,,n x t x t x t 为对应的齐线性方程的一个基本解组,()x t 是非齐的一个解,则()()()()()()()12,,,,n x t x t x t x t x t x t x t +++均为非齐的解,同时也是线性无关的.事实上,假设存在常数()()()()()()()1211122111,,:0n n n i i c c c c x t x t c x t x t c x t c +++=+++++==∑使得即否则:若110n i i c +==∑,则有:()()111ni i n i ii cx t x t c+===∑∑ (2)(2)的左端为非齐线性方程的解,而右端为齐线性方程的解,所以矛盾.从而有()10ni i i c x t ==∑,又()()1,2,,i x t i n =是齐线性方程的基本解组,故有120n c c c ====,进而有10n c +=.即(1)是线性无关的.再证明最多存在n+1个线性无关解.事实上:若()x t 是t 的任一解,则由通解结构定理,存在常数()1,2,,i c i n =使得()x t =()()1ni i i c x t x t =+∑即()x t =()()()()()()()1111()1nnni i i i i n i i i c x t x t c x t c x t x t c x t +===⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭∑∑∑其中111nn i i c c +==-∑为常数故得证.。