三、案例
案例1 [死亡年代的测定] 遗体死亡之后，体内碳14的含量就不断
减少，已知碳 14 的衰变速度与当时体内碳 14的含量成正比，试建立 任意时刻遗体内碳 14含量应满足的方程．
研究
解 设 t时刻遗体内碳14 的含量为 pt,根据题意有
dPtkPt k 0常数
dt
等式右端的负号是由于 Pt随时间 t 的增加而减少．
一、引例 [曲线方程]
一平面曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试 建立该曲线满足的方程式．
解 设所求曲线为yfx由导数的几何意义知，曲线上任一点 px,y处的切线斜率为 y 根据题意有 y2x即
dy 2x dx
二、概念和公式的引出
凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程．微分方程 有时也简称为方程． 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程． 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 任何满足微分方程的函数都称作微分方程的解． 如果微分方程中含有任意常数，且独立变化的任意常数的个数与 微分方程的阶数相同，这样的解称作微分方程的通解．不含任意 常数的解称作微分方程的特解．
d2 y dt2 g
y12g2tC1tC2
其中C1, C2是两个独立变化的任意常数．
贝努利（Jacob Bernoulli 1654-1705），著名数学家。 他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始 到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的“ 伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极坐 标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出 悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问题 ，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
案例2 [自由落体运动] 一质量为m的质点,在重力作用下自由下落, 求其运动方程. 解 建立坐标系如图，坐标原点取在水平地面, y轴铅直向上,设在时刻
t质点的位置是yt,由于质点只受重力mg作用,且力的方向与 y轴正向相反，
故由牛顿第二定律得质点满足的方程为
m
d2 y dt2
mg
或
通过积分容易得出
4-1第四章 常微分方程
第一节Байду номын сангаас常微分方程
O、背景 一、引例 二、概念和公式导出 三、案例
背景
函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系，寻求函数 关系在实践中具有重要意义。许多实际问题，往往不能直接找出需要的 函数关系，却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之 间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676年詹姆士．贝努利致牛 顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一 门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界 的重要工具．1846年,数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发 现了一颗有名的新星——海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一 个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程 ，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多．在微分 方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧 拉、拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献．
约翰.伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）， 雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在 1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问 题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学 、微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学 物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约 翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内 有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点， 不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极 小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟 、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。