(4)特殊矩阵
1


(a)对角矩阵 A
2
.

O

n

对角矩阵的和、
差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方幂.
它的逆为

1 1
A1


1 2 O




1 n

(b)对称阵与反对称阵
若方阵 A (aij )nn 满足 A A ，即 aij a ji 则称A 为对称矩阵.
(c)基本矩阵




形如
Eij

1
i
的矩阵称为基本矩阵.



j

结论1：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出. 结论2：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵.证明 可利用基本矩阵. (d)正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵
AA AA E, A2 A, A2 0, A2 E.
时，上述公式应用广泛.
题型分析： 1 0
例1 设
A


0 0

0
1


,求 An .
求矩阵的方幂一般有三种方法：
(1)归纳法， (2) 可换公式法，(3)相似对角化法.
由于矩阵A是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！
例2
设
1
A




2
3 1.
2014年8月
第二章 矩阵
矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数 学及许多科学领域中最重要的工具.矩阵问题 丰富多彩，技巧性高.在高等代数中扮演着重 要角色. 本章主要复习内容:
(1)矩阵运算与特殊矩阵 (2)初等变换与矩阵
的逆 (3)矩阵的秩 (4)分块矩阵及应用
1.矩阵的运算与特殊矩阵
(1)矩阵的线性运算 (a)矩阵的加法 设 A (aij )sn, B (bij )sn 是数域
f (x) amxm am1xm1 L a1x a0 为任意多项式，
求出 f ( A) 的表达式.
例3 设A、B为n阶方阵，且 AB A B, 证明：AB BA.
分析：证明A、B可换，联想到可逆定义即可获结论.
例4 设 1 0 0
A


0 3
1 1
0 2
若方阵 A (aij )nn 满足A A ，即 aij a ji 则称A 为反对称矩阵.
结论1：任一方阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵
的和即 A 1 ( A A) 1 ( A A).
2
2
结论2：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反
对称矩阵的行列式可能为零也可能非零.
阵P使
PAQ


Er 0
0 0
.
等价标准形在处理矩阵问题中有重要应用！
结论2：可逆矩阵的等价标准形是 E.
结论3：矩阵A与B等价的充要条件是 r( A) r(B).
(4)逆矩阵 (a)逆矩阵的定义
对于方阵 A 如果存在方阵 B使得 AB BA E, 则称 矩阵 A 可逆，B 为 A 的逆矩阵，记为 A1.
(e)可换矩阵
若方阵满足 AB BA 则称矩阵A与B可换.
结论1：与对角阵(主对角元互不相等)可换的矩阵
只能是对角矩阵.
a1E
结论2：与
A
a2 E

O

是同型的准对角矩阵.

可换的矩阵只能


an
E

当A与B可换时，下面结论成立.
(A B)n, An Bn 的展开式成立.特别，当 B E
(2)初等矩阵 对单位矩阵E 作一次初等变换得到的矩阵称为初
等矩阵. 初等矩阵有三种形式： P(i, j), P(i(c)), P(i, j(k)).
结论1：初等矩阵都是可逆的，且 P1(i, j) P(i, j), P1(i(c)) P(i(c1)), P1(i, j(k)) P(i, j(k)).
P上的矩阵，和定义为 A B (aij bij )sn . (b)数乘矩阵 设 A (aij )sn, k P ，k 与 A 的乘积
定义为 kA (kaij )sn 矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算 律.
(2)矩阵的乘法 (a)设 A (aij )sn, B (bij )nm 定义 A 与 B 的乘积为： AB (cij )sm, 其中，cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj 注：两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的
行数相等时才能相乘. 满足的运算律有：结合律；分配律；数与乘法的结
合律即：(kA)B A(kB) k(AB). 但是，乘法一般不 满足交换律即: AB BA. 有三种原因，你是否知道？
(b)方阵的幂及矩阵多项式
Am 1AA2L3A 称为矩阵的方幂.
m个
矩阵多项式：设 f (x) amxm am1xm1 L a1x a0, A 为方阵，称 f ( A) am Am am1Am1 L a1A a0E, 为矩阵 A 的多项式。 对任意的 f (x), g(x) 都有 f (A)g(A) g(A)f(A).
(3)矩阵的转置
(a)将矩阵 A (aij )sn 的行列互换，所得到的矩 阵称为 A 的转置。记为 A 或 AT .
(b)转置的性质 ( A) A, ( A B) A B,
(kA) kA, ( AB) BA. 特别 (An ) (A)n.
结论2 (变换与矩阵乘积的关系)在矩阵A的左(右)侧 乘初等矩阵，相当于对矩阵A作一次相应的行(列)初 等变换. (3)矩阵的等价
对矩阵A做初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵 B等价.
结论1：若 r(A) r,
则矩阵ABiblioteka 与矩阵 Er o
o
o

等价，称为 A 的等价标准形.即存在可逆矩

求所有与A可换的矩阵.
提示：先化简，后计算. 例5 设 A, X 均为n阶方阵，其中 A 的元素均为1，证 明方程 X AX XA 仅有零解. 注意：这种元素均为1的矩阵有特殊性质 A2 nA,以 后还会遇到！
2.初等变换与矩阵的逆
(1)初等变换 (a)交换矩阵的两行(列). (b)矩阵的某一行(列)同乘一个非零数. (c)矩阵的某一行(列)的常数倍加到另一行(列).