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3）（定理4） 矩阵的标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A ( ) 的标准形为
d1 ( ) d r ( ) D ( ) 0 0
其中 d 1 ( ), d r ( ) 为首1多项式，且
d i ( ) d i 1 ( ) , i 1, 2, r 1,
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由2），A ( ) 的 k 级行列式因子为
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r .
2
2 1 0 0
又
D3 A

1 .
3
所以，A 的不变因子为 ：
d 1 D1 1, d3 D3 D2 d2
2
D2 D1
证：必要性显然. 只证充分性. 若 A ( ) 与 B ( ) 有相同的行列式因子，则
A ( ) 与 B ( ) 也有相同的不变因子， 从而 A ( ) 与 B ( )
有相同的标准形， 所以 A ( ) 与 B ( ) 等价.
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又 A ( ) 的n个行列式因子满足:
Dk ( ) Dk 1 ( ) , k 1, 2, , n 1.
D k ( ) 1,
k 1, 2, , n.
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从而不变因子
d k ( ) Dk ( ) Dk 1 ( ) 1, k 1, 2, , n
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解：1） A ( ) 的非零1级子式为:
,
2
2 0 A( ) 0 0 0
2 1 0 0
,
1
2
.

D1 1
A ( ) 的非零二级子式为:
1 ,
1 .
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2）

1 0 0 2 1 0 1, 0 2 1
D 3 1.
A
2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
A ( ) P1 Ps EQ 1 Q t P1 Ps Q 1 Q t .
推论：两个 s n 的 矩阵 A ( ) 、B ( ) 等价
存在一个 s s 可逆矩阵 P ( ) 与一个 n n 可逆
矩阵 Q ( ) ，使
B ( ) P ( ) A ( )Q ( ).
k 级子式的 c倍.
因此，f ( )是 B ( ) 的 k 级子式的
f ( ) g ( ) .
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公因式， 从而
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③ A B . 此时 B ( ) 中包含 i , j 两行
i j
D k ( ) D k 1 ( ),
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k 1, 2, , r 1.
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二、不变因子
1. 定义：
矩阵 A ( ) 的标准形
d1 ( ) d r ( ) D ( ) 0 0
于是
d 1 ( ) D1 ( ), d 2 ( ) D2 ( ) D1 ( ) , , d r ( ) Dr ( ) Dr 1 ( )
即 d 1 ( ), , d r ( ) 由 A ( ) 的行列式因子所唯一确定. 所以 A ( ) 的标准形唯一. 4）秩为 r 的 矩阵的 r 个行列式因子满足：
4
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练习：求 A ( ) 的不变因子
1 A 0 0 0 0 0 0 0 0 an 0 a n 1 a2 1 a1

0 0
2）若 n n 的 矩阵 A ( )可逆，则 A ( ) 的不变 因子全部为1， A ( ) 的标准形为单位矩阵 E ，即
A ( ) 与 E 等价.
证；若 A ( ) 可逆，则 A ( ) d ， d 为一非零常数.
A ( ) 的第n个行列式因子 D n 1.
所以，A ( ) 的标准形为 E .
注：A ( ) 可逆
A ( )与 E 等价.
3)（定理6） A ( ) 可逆 A ( ) 可表成一些初等 矩阵的乘积.
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证：A ( ) 可逆 A ( ) 与 E 等价
存在初等矩阵 P1 , , Ps , Q 1 , Q t , 使
g ( ) 分别是 A ( ) 与 B ( ) 的 k级行列式因子．
下证 f g ，分三种情形：
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① A ( ) B ( ). 此时 B ( ) 的每个 k 级子式或
i , j
者等于 A ( ) 的某个 k 级子式， 或者与 A ( ) 的某个
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2. 有关结论
1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级
行列式因子.
（即初等变换不改变 －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证， －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 设 A ( ) 经过一次初等变换变成 B ( ) ，f ( ) 与
的主对角线上的非零元素 d 1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ) 称为 A ( ) 的不变因子.
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2. 有关结论
B 1)（定理5） 矩阵 A ( ) 、 ( ) 等价 A ( ) 、 ( )有相同的不变因子. B A ( ) 、 ( )有相同的行列因子. B
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例、求 矩阵的不变因子
2 0 A 0 0 0
A
1
2 1 0 0
2
2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
0 2 1 , 0
2

0
3
0
1
2
,
2
0
0
1
2
1 .
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D2 1 .
2 0 A( ) 0 0 0
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 小结与习题
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§8.3 不变因子
一、行列式因子 二、不变因子
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证： A ( ) 与 D ( ) 等价， A ( ) 与 D ( ) 有相的秩与行列式因子.
在 D ( ) 中，若一个 k 级子式包含的行、列指标不
完全相同，则这个 k 级子式为零. 所以只需考虑由 i1 , i 2 , i k 行与 i1 , i 2 , i k 列组成的 k 级子式 (1 i1 , i 2 , i k r ), 即 d i ( ) d i ( ).
1 k
而这种 k 级子式的最大公因式为 d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ). 所以，A ( ) 的 k 级行列式因子
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r .
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又
D1 D 2 , D 2 D 3
D1 D 2 1.
而
D4 A 2 .
4
A ( ) 的不变因子为
d 1 d 2 d 3 1, d 4 2 .
k 级子式反号. 因此， f ( ) 是 B ( ) 的 k 级子式的
公因式， 从而
i c
f ( ) g ( ) .
② A ( ) B ( ). 此时 B ( ) 的每个 k 级子式或
者等于 A ( ) 的某个 k 级子式，或者等于 A ( ) 的某个
的和不包含 j 行的那些 k 级子式与 A ( ) 中对应的 k 级子式相等； B ( ) 中包含 i 行但不包含 j 行的 k 级 子式，按 i 行分成 A ( ) 的一个 k 级子式与另一个 k 级子式的 ( ) 倍的和， 即为 A ( ) 的两个 k 级子式 的组合， 因此 f ( ) 是 B ( ) 的 k 级子式的公因式， 从而
f ( ) g ( ) .
f ( ) g ( ).
同理可得， g ( ) f ( ) .
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