数学纠错练习（2）
1. 不等式(x －1)02≥+x 的解集为 [1,＋∞) 或{}2-
2. 已知函数)3||(log )(3
1+-=x x f 定义域是],[b a ),(z b a ∈，值域是]0,1[-，则满足条件的整数数对
),(b a 有 5 对
3. 观察下列各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了正整数间的某种规律，设
n 表示正整数，用关于n 的等式表示为 .∈2
2
*
(n+2)-n =4(n+1)(n N ) 4. 设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的
是 ▲ .（填所正确条件的代号）③ ①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面； ③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面.
5.设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，若不等式22
2
12n n S a a n
λ+≥对任意{}n a 和正整数n 恒成
立，则实数λ的最大值为 ▲ . 15
6.
图为函数()1)f x x =
<<的图象，其在点
(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别
交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b
时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ . 18,427⎛⎫ ⎪⎝⎭
7. 过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交
点分别为,B C ．若BC AB 2
1
=
，则双曲线的离心率是； 8．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动
点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
答案：
1
,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
9. 如果执行下面的程序框图，
那么输出的S
值为 . 2046
2047 10. .定义：关于x的两个不等式()0<
x
f和
()0<
x
g的解集分别为()b a,和⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
a
b
1
1
，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式0
2
2
cos
3
4
2<
+
-θ
x
x与不等式0
1
2
s i n
4
22<
+
+θ
x
x为对偶不等式，且,
2
π
θπ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，则=
θ.
5
6
π
11. 已知函数bx
ax
x
x
f-
+
=2
3
3
1
)
(（R
b
a∈
,），若)
(x
f
y=在区间[]2,1-上是单调减函数，则b
a+的
最小值为.
2
3
12. 已知连续*
21()
n n N
+∈个正整数总和为a，且这些数中后n个数的平方和与前n个数的平方和之差为b．若
11
60
a
b
=，则n的值为．5
13．设抛物线2y=2x的焦点为F，过点M0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交
于C，BF=2，则∆BCF与∆ACF的面积之比BCF
ACF
S
S
∆
∆
=
4
5
14. 已知定义在R上的函数()
f x满足()12
f=，()1
f x
'<，则不等式()221
f x x
<+的解集为_ __；()()
,11,
-∞-+∞
15. 已知函数()()
2
2
ln0
f x x a x x
x
=++>，()
f x的导函数是()
'
f x，对任意两个不相等的正数
12
,x x，证明：
（Ⅰ）当0
a≤时，
()()
1212
22
f x f x x x
f
++
⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
（Ⅱ）当4
a≤时，()()
''
1212
f x f x x x
->-
证明：（Ⅰ）由()2
2
ln
f x x a x
x
=++
得
()()
()()1222
121212111ln ln 2
22
f x f x a x x x x x x +⎛⎫=
+++++ ⎪⎝⎭ (
)2
2121212
1ln 2x x x x a x x +=
+++ 2
12121212
4ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭ 而()()2
222221212121211
2242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+>++= ⎪⎣⎦⎝⎭
① 又()()
2
22
1212121224x x x x x x x x +=++>
∴
121212
4
x x x x x x +>+ ②
122x x +<
∴12
ln 2
x x + ∵0a ≤
∴12
ln 2
x x a a + ③ 由①、②、③得
(
)2
221212121212
1422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫
+++>++ ⎪+⎝⎭即
()()
12122
2f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
（Ⅱ）证法一：由()2
2ln f x x a x x =+
+，得()'222a f x x x x
=-+ ∴()()''12122211222222a a f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=-+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭()121222
121222x x a x x x x x x +=-⋅+- ()()()12''121222
1212
221x x a
f x f x x x x x x x +->-⇔+
-
> 下面证明对任意两个不相等的正数12,x x ,有()1222
1212
221x x a
x x x x ++
-
>恒成立 即证()121212
2x x a x x x x +<+成立∵(
)12121212
2x x x x x x x x ++
>
设()()240t u x t t t =
=+
>，则()'24
2u x t t
=-令()'0u x =
得t =，列表如下：
()4u t a ≥=>≥ ∴()121212
2x x x x a x x ++
>
∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()'
'1212f x f x x x ->
-。