4 . 数学纠错练习(7)
2S r ——
1 •我们知道若一个边长为 a
，面积为S 的正三角形的内切圆半径
3a ，由此类比，若一
3V
个正四面体的一个面的面积为
S ,体积为V ,则其内切球的半径r 4S
2. 如图，有一广告气球，直径为6m 放在公司大楼的上空， 当行人仰望气球的中心的仰角/
BAC
=30°时，测得气球的视角
9 = 2°,若9的弧度数很小时，可取
sin 9=9，由此可估
计该气球的高BC 约为 _______ . 86
2
1 1
3. 设f (x )奇函数，当x > 0时，f (x ) = 2x — x ,若函数f (x )( x € ［a , b ］)的值域为 冷，才， 贝U b 的最小值为 _____ . ______ - 1
2 2
4. 若不等式- 仝 > 孚对于任意正实数x , y 总成立的必要不充分条件是
k m, ，则正
108 4 3
整数m 只能取 ______________ . 1或2
5•设 f(x) |4 x 21,若0 m n,且f (m) f(n),则m n 的取值范围是 _________________ 」(2^2, 4) 6.在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A (x , y) x y < 1, 且x > 0, y > 0，则
平面区域B
(x y , x y) (x , y) A 的面
积为
1
x y 2< 0,
2
7 •设实数x, y 满足 x 2y 5>0,则 u
y x xy 的取值范 围是
8 3
• 3, 2
y 2W 0,
&设函数y f (x)在 ， 上满足f( x) f (4
x), f (4 x) f (10 x)，且在闭区
间0,7上，f (x)
0仅有两个根x 1和x 3，则方程f (x)
0在闭区间
2011,2011上根的个数有 805 .
9.函数f (x ) = sin( 3 x + — ) (3 > 0)在［0 , 2］上恰有一个最大值和一个最小值，则
®的
3
7
13
取值范围是
•［丄.亠)
12 12
2 2
10•已知 f(x) |x 1| x kx . (I )若k 2，求方程f (x)
0的解；
(II )若关于x 的方程f(x) 0在(0,2)上有两个解x 1, x 2，求k 的取值范围，并证明
x-i x2
4 .
(I)解：(1 )当k = 2 时，f(x) |x21| x2 2x 0
①当X2 1 0时，x > 1或x W—1时，方程化为2x2
皿1 73 1 J3 1 J3
解得x ，因为0 1,舍去，所以x
2 2 2
21
②当x2 1 0时，一1< x V1时，方程化为2x 1 0，解得x
2
由①②得当k= 2时，方程 f (x) 0的解所以x —3或x
2
(II)解：不妨设0< X1< X2< 2,
因为f (X)
2x2kx 1|x| 1
kx 1|X| 1
所以f (x)在(0,1 ］是单调函数，故f (x) = 0在(0,1 ］上至多一个解，
1
若 1 <X1 <X2< 2,贝U X1X2 = —— < 0，故不符题意，因此0<X1W 1 < X2<2.
2
1
由f(xj 0得k , 所以k 1 ；
X1
由f(X2)0 得k 丄2X2所以
7
k 1; X22
故当7 k
1时，方程f(x)0在(0 , 2)上有两个解
因为0< X1W 1 < X2< 2,所以k丄2x f kx2 1= 0
X1
消去k得2x^1 x1x20
1
即11
2x
2 , X
1
X
因为X2< 2, 1
所以一
1
4 . X1X2
22
X仝1
11.已知椭圆E: 8 4 的左焦点为F,左准线I与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点0,设G是圆C上任意一点•
(1)求圆C的方程；
(2)若直线FG与直线1交于点T,且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长;
2x 1 0
所以在平面上存在一点
P,其坐标为(4,
°).
GF 1
(3)在平面上是否存在一点 P,使得GP
2
?若存在，求出点
P 坐标；若不存在，请说明
理由•
2 2
x y
1
解. ( 1)由椭圆E :
8 4
1
，得
1 :x
4 C( 4,°) F
(2,°)
又圆C 过原点，所以圆 C 的方程为
(
x
4)2 y 2 16
......... 4分
(2)由题意，得
G( 3,y G ),
代入
(x
4)2
y 2 16
，得 y G
• 15
所以FG 的斜率为
k
J5 , FG 的方程为
y 15(x 2)
,
(注意：若点G 或FG 方程只写一种情况扣 1分)
故直线FG 被圆C 截得弦长为
2s
GF (3)设 P (S ，
t) , G(x °，
y °), 2 2 整理得 3(x ° y °) (16 2s)x ° 2ty ° 则由GP
16 ，得
2
s
t 2
2
又G (
x °,y °)在圆 c ： (x 4)
16上 所以 2
x °
②代入①得
(2s 8)x °
2ty
°
16
t 2
、'(x ° 2)2
y
2 2 x °
s) (y ° t)
°①, y ° 8x ° ° ②,
12分
14分
又由
G(x °
,y
°)
为圆
C 上任意一点可知,
2t °,
2 2
16 s t
°，解得 s 4,t
°
15
所以C (
4
，°)到FG 的距离为
2
，直线FG 被圆C 截得弦长为
1°分
°,
7。