第一个重要极限
参看附图 设圆心角AOB=x ( 0 x ) 2 显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x sin x 1 cos x 从而 (此不等式当 x0 时也成立) x D 因为 lim cos x =1 B 简要证明
(
lim sin x =1 x0 x
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例3 已知圆内接正 n 边形面积为
An = n R 2 sin cos n n
sin 2 n

n
R
cos n
证:
n
lim An = lim R
n

n
说明: 计算中注意利用
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？
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lim (1+ 1 ) x = e x x
1 lim[1+a (x)]a (x)
= e (a(x)0)
1 例 4 例 3 求 lim (1 ) x x x 解 令t=x 则x 时 t 于是
或
1 1 1 1 x t lim (1 ) = lim (1+ ) = lim = x t t x t (1+ 1)t e t 1 1 x lim (1 ) = lim (1+ ) x(1) x x x x =[ lim (1+ 1 ) x ]1 = e1 x x
n n
那么数列{xn }的极限存在 且 lim xn = a >>>
准则I
n
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限 设 xn = (1+ 1 )n 可以证明 (1)xnxn+1 nN+ (2)xn3 n 根据准则II 数列{xn}必有极限 此极限用e来表示 即 1 lim (1+ )n = e n n 我们还可以证明 lim (1+ 1 ) x = e x x 这就是第二个重要极限
e 4. lim (1 + sin x) = ____ x 0
1 x
二 P52 4(2) (3) (5)
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作业
P52 1 (5)，(6) ; 2 (4) ;
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sina (x) = lim sin u =1 lim u 0 u a (x)
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sin a (x) sin x lim =1 lim =1 (a(x)0) x0 x a (x)
tan x 例例 11 求 lim x0 x sin x 1 tan x sin x 1 解 = lim = lim lim =1 解 lim x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x 1 cos x 例 2 例 2 求 lim 2 x0 x x x 2 2 2 sin sin 1 1 cos x 2 = lim 2 解 lim = lim x0 x2 x 0 x2 2 x 0 x 2 ( ) 2 x 2 sin 1 1 2 1 2 = lim = 1 = 2 x0 x 2 2 2
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思考与练习 一 填空题 ( 1～5 ) sin x 0 ; 1. lim = _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin = ____ x 0 x
4 x+2 e ; 5. lim = ____ x x 2
x
1 2. lim x sin = ____ ; 1 x x
sin x =1 根据准则 I lim x0 x
x0
1 x O C
A
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第一个重要极限
lim sin x =1 x0 x
注:
sina (x) 在极限 lim 中 只要a(x)是无穷小 就有 a (x) sina (x) lim =1 a (x)
这是因为 令u=a(x) 则u0 于是
§1.6 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I及第一个重要Leabharlann 限二、准则II及第二个重要极限
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一、准则I及第一个重要极限
准则 I 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2) lim yn = a lim zn = a
x1 x2x3 x4x5
xn
A
M
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限 设 xn = (1+ 1 )n 可以证明 (1)xnxn+1 nN+ (2)xn3 >>> n 根据准则II 数列{xn}必有极限 此极限用e来表示 即 1 lim (1+ )n = e n n e是个无理数 它的值是 e=2 718281828459045
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 第二个重要极限
1 lim (1+ ) x = e x x
注:
1 在极限 lim[1+a (x)]a (x) 1 lim[1+a (x)]a (x)
中 只要a(x)是无穷小 就有
= e >>>
注: 如果xnxn+1 nN+ 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn+1 nN+ 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
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二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限 •准则II的几何解释
以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移 动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界 数列只可能后者情况发生