导数及其应用
导数的几何意义与运算
1.常见函数的导数
（1）C '=0（C 为常数） （2）()n x '=1n nx - （3）(sin )x '=cos x （4）(cos )x '=sin x -
（5）()x e '=x e （6）()x a '=ln x a a （7）(ln )x '=1x （8）(log )a x '=11log ln a e x x a
= 2.可导函数四则运算的求导法则
（1）()u v '±=u v ''± （2）()uv '=u v uv ''+ （3）()u
v '=2u v uv v
''-(0)v ≠
3.导数的几何意义
4.已知切线的斜率，求切线方程
例题1 曲线3
11y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A.9- B. 3- C. 9 D. 15
例题2已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln ,f x xf x '=+则(1)f '=（ ）
A.e -
B. 1-
C. 1
D. e
例题3函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1,k a k +为正整数，116,a =则
135a a a ++的值为__________
例题4在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_______
利用导数研究函数的单调性
A. (,2)-∞
B. (0,3)
C. (1,4)
D. (2,)+∞
例题2设函数22
()ln ,0f x a x x ax a =-+>
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
例题3已知函数()ln()x f x e x m =-+. （Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性；
利用导数研究函数的极值与最值 [高考常考]
例题1设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x
f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为
()
y f x
=的图象是（）
A. B. C. D.
例题2设直线x t
=与函数2
(),()ln
f x x
g x x
==的图象分别交于点,
M N，则当||
MN达到最小时t的值为（ D ）A．1 B．
1
2
C．
5
2
D．
2
2
例题3设.
2
2
1
3
1
)
(2
3ax
x
x
x
f+
+
-
=
（1）若)
(x
f在)
,
3
2
(+∞上存在单调递增区间，求a的取值围；
（2）当2
0<
<a时，)
(x
f在[1,4]上的最小值为
3
16
-，求)
(x
f在该区间上的最大值.
例题4设
2
()
1
x
e
f x
ax
=
+
，其中a为正实数
（Ⅰ）当a
4
3
=时，求()
f x的极值点；
（Ⅱ）若()
f x为R上的单调函数，求a的取值围.
导数在研究不等式中的应用[高考常考]
例题1已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．
（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x a f x a f ->+；
例题2设()ln(1)1f x x x ax b =+++++（,,,a b R a b ∈为常数），曲线()y f x =与直线32
y x =在(0,0)相切. （1）求,a b 的值； （2）证明：当02x <<时，9()6
x f x x <
+
突破3个高考难点
难点1 利用导数研究多元不等式问题
典例 已知函数(1)()ln 1
a x f x x x -=-+. （1）若函数()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值围；
（2）设,m n R +∈且m n ≠，求证：
ln ln 2
m n m n m n -+<-
难点2 利用导数研究数列问题
典例 已知各项均为正数的数列{}n a 满足22112n n n n a a a a ++=+，且24324,a a a +=+其中*n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令1,n n
n c a =+记数列{}n c 的前n 项积为,n T 其中*n N ∈，试比较n T 与9的大小，并加以证明.
难点3 利用导数研究方程根的问题
典例 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间恰有两个零点，求的取值围.
3211()32
a f x x x ax a -=+--(0,)a x R >∈)(x f )(x f (2,0)-a
4个易失分点
易失分点1 导数的几何意义不明
典例 已知函数()(0)t f x x t x
=+>和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线,PM PN ，切点分别为1122(,),(,)M x y N x y
（1）求证：12x x 、为关于x 的方程220x tx t +-=的两根
（2）设||(),MN g t =求()g t 的表达式.
易失分点2 导数符号与函数的单调性关系理解不透彻
典例 已知函数32
()3.f x x ax x =-- （1）若函数()f x 在区间[2,)+∞上是增函数，数a 的取值围；
（2）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 的最小值和最大值.
易失分点3 导数符号与极值关系理解不透彻
典例 已知函数322
()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，求,a b 的值.
易失分点4 导数符号与极值关系理解不透彻
典例 已知函数2()2ln f x x x a x =++ ()a R ∈在(0,1)x ∈上为单调函数，求的取值围
a。