课时作业55 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．± 5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.答案：B2．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．4 6解析：依题意，圆的圆心为(1，2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.答案：C3．已知直线l 经过点M (2，3)，当圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长时，直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．3x ＋4y －18＝0C ．y ＋3＝0D ．x －2＝0解析：∵圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长，∴直线l 经过圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心(2，－3)．又直线l 经过点M (2，3)，∴直线l 的方程为x －2＝0.答案：D4．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m <3)的一条弦AB 的中点为P (0，1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：由圆的方程得该圆圆心为C (－1，2)，则CP ⊥AB ，且直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.答案：B5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S△AOB取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案：B6．两圆相交于(1，3)和(m ，－1)两点，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据两圆相交的性质可知，点(1，3)和(m ，－1)的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2－1＋c ＝0，3－（－1）1－m ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3.答案：D 二、填空题7．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a ，0)，则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3，0)．因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________． 解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y ＝1a，如图，由已知|AC |＝3，|OA |＝2，有|OC |＝1a＝1，∴a ＝1.答案：19．圆心在曲线y ＝－3x(x >0)上，且与直线3x －4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程是________．解析：因为圆心在曲线y ＝－3x(x >0)上，所以设圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－3a (a >0)，则半径r＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋332＋（－4）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35，圆的面积最小即为半径r 最小．因为a >0，所以由基本不等式得3a ＋12a≥12，当且仅当a ＝2时等号成立，此时r 取得最小值3，故圆的面积最小时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径为3，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝9.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝9三、解答题10．已知点P (2＋1，2－2)，点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解：由题意得圆心C (1，2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意， 所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.11．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5，3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 的方程化标准方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3，2)，半径r ＝3.若设直线l 1的斜率为k 则：k＝－1k PC ＝－112＝－2.所以直线l 1的方程为：y －3＝－2(x －5)， 即2x ＋y －13＝0.(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交， 则须有：|3＋2＋b |2<3，所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是： －32－5<b <32－5.(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)， 则直线l 2与CM 垂直，于是有：y 0－2x 0－3＝1， 整理可得：x 0－y 0－1＝0. 又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上， 所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b2，y 0＝－1＋b2，代入直线l 1的方程得：1－b －1＋b2－13＝0，于是b ＝－253∈(－32－5，32－5)，故存在满足条件的常数b .1．(2016·河北唐山一模)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点M (t ，2)，若C 上存在两点A ，B 满足MA ―→＝AB ―→，则t 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－5，5]D ．[－5，5]解析：如图，设A (x ，y )，∵MA ―→＝AB ―→，∴A 为MB 的中点，∴点B 的坐标为(2x －t ，2y－2)．∵A ，B 均在圆C ：x 2＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，（2x －t ）2＋（2y －2）2＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22＋（y －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122.由题意得，方程组有解，即等价于以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，1为圆心，12为半径的圆与圆C 有交点．∴1－12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋12≤1＋12⇒－5≤t ≤5，即实数t 的取值范围是[－5，5]．答案：C2．(2016·甘肃兰州双基)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：如图，作OP ⊥AC 于点P ，OQ ⊥BD 于点Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，于是AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，所以S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立．故四边形ABCD 面积的最大值为5.答案：A3．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：由mx －y －2m －1＝0可得m (x －2)＝y ＋1，则知该直线过定点P (2，－1)，那么所有的圆中，半径最大的圆的半径为r ＝|PC |＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2，故所求的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝24．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝R a 2＋3＝R，解得a ＝1或a ＝138，又∵S ＝πR 2<13，∴a ＝1， ∴圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为：x ＝0，不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3（x －1）2＋y 2＝4，消去y 得： (1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0， ∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2) ＝12k 2－24k －20>0， 解得k <1－263或k >1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k2，y 1＋y 2 ＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2，OD ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC ―→＝(1，－3)，假设OD ―→∥MC ―→，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， ∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k2，解得k ＝34∉(－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立，∴不存在这样的直线l .。