2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题40：尺规作图一、选择题1. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点。
2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形。
对于甲、乙两人的作法，可判断【】A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确【答案】A。
【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。
【分析】根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC。
∴OE=DE=12 OD。
又∵OB=OD，∴在Rt△OBE中，OE=12OB。
∴∠OBE=30°。
又∵∠OEB=90°，∴∠BOE=60°。
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA。
又∵∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°。
同理∠C=60°。
∴∠BAC=60°。
∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°。
∴△ABC为等边三角形。
故甲作法正确。
根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD。
∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB。
∴△BOD为等边三角形。
∴∠OBD=∠BOD=60°。
又∵BC垂直平分OD，∴OM=DM。
∴BM为∠OBD的平分线。
∴∠OBM=∠DBM=30°。
又∵OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°。
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°。
同理∠ACB=60°。
∴∠BAC=60°。
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC。
∴△ABC为等边三角形。
故乙作法正确。
故选A。
2. （2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是【】A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A。
【考点】作图（基本作图），全等三角形的判定和性质。
【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，∴△ONC≌△OMC（SSS）。
∴∠AOC=∠BOC。
故选A。
3. （2012河北省3分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中， FG是【】A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D。
【考点】作图（基本作图），平行线的判定，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN=∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答：根据题意，所作出的是∠BCN=∠AOB，根据作一个角等于已知角的作法， FG是以点E为圆心，DM为半径的弧。
故选D。
4. （2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；再分别以点A, B为圆心，以大于12AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m－1,2n),则m与n的关系为【】(A)m＋2n=1 (B)m－2n=1 (C)2n－m=1 (D)n－2m=1【答案】B。
【考点】作图（基本作图），角平分线性质，点到x轴、y轴距离。
【分析】如图，根据题意作图知，OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为(m－1,2n)且在第一象限，点C到x轴CD=2n，到y轴距离CE= m－1。
根据角平分线上的点到角两边距离相等，得m－1=2n，即m－2n=1 。
故选B。
二、填空题1. （2012河南省5分）如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边与点D，则∠ADC的度数为▲【答案】650。
【考点】作图，角平分线的性质，三角形内角和外角的性质。
【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质有∠GAB=250。
∵在△ABC中，∠C=900，∠CAB=500，∴根据三角形内角和定理，得∠B=400。
∴根据三角形外角性质，得∠ADC =400＋250=650。
2. （2012江西省3分）如图，已知正五边形ABCDE，仅用无刻度的直尺准确作出其一条对称轴。
（保留作图痕迹）【答案】作图如下：【考点】作图题，【分析】正五边形的性质。
连接BD，CE交于点O，连接AO，即为所求。
三、解答题1. （2012广东省6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．【答案】解：（1）作图如下：（2）∵在△A BC中，AB=AC，∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。
∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°。
∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。
【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。
【分析】（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D。
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。
2. （2012广东佛山8分）比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．3. （2012广东珠海6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【答案】解：（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形。
【考点】作图（基本作图），平行的判定和性质，等腰三角形的判定。
【分析】（1）作法：以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于12GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN。
则DN即为所求。
（2）设DN交AM于F，则∵AB=AC，AD是高，∴∠BAD=∠CAD。
又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠FAD=12×180°=90°。
∴AF∥BC。
∴∠CDF=∠AFD。
又∵∠AFD=∠ADF，∴∠CDF =∠ADF。
∴AD=AF。
∴△ADF是等腰直角三角形。
4. （2012广东汕头7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．【答案】解：（1）作图如下：（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°，∴∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣144°=36°。
∵AD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°。
∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°。
【考点】作图（基本作图），等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。
【分析】（1）根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出∠ABC的平分线：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF为半径画圆，两圆相较于点G，连接BG交AC于点D。
（2）先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠A的度数，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，再根据三角形外角的性质得出∠BDC的度数即可。
5. （2012浙江杭州8分）如图，是数轴的一部分，其单位长度为a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．（1）用直尺和圆规作出△ABC（要求：使点A，C在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记△ABC的外接圆的面积为S圆，△ABC的面积为S△，试说明SS>π∆圆．【答案】解：（1）如图所示：（2）∵AB2+BC2=AC2=5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜边。
∴AC是△ABC外接圆的直径，则半径为5a2。
∵△ABC的外接圆的面积为S圆，∴S圆=22525aa=24ππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭。
又∵△ABC的面积S△ABC=12×3a×4a=6a2。
∴2225aS254==S246a>πππ∆圆。
【考点】作图（三角形），勾股定理逆定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心。
【分析】（1）在数轴上截取AC=5a，再以A，C为圆心3a，4a为半径，画弧交点为B，连接AB，BC，则△ABC即为所求。
（2）由三边，根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，根据直径所对圆周角是直角的性质知AC是△ABC外接圆的直径。
从而求出圆和三角形面积即可求出二者的比值。
6. （2012湖北宜昌7分）如图，已知E是平行四边形ABCD的边AB上的点，连接DE．（1）在∠ABC的内部，作射线BM交线段CD于点F，使∠CBF=∠ADE；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）在（1）的条件下，求证：△ADE≌△CBF．【答案】（1）解：作图如下：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC。
∵∠ADE=∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）。