数列求和汇总答案
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎪⎨⎧--==)1()1(111
q a a q a q na S n n
n
299100--+)()2100=++-()((656510099=-++-=S 二、错位相减法求和
b n }的前n
①－②得n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
练习：求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1
}的通项之积
设n n n
S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
264221+⋅⋅⋅+++=n
S ………………………………②（设制错位） =∴例S ①+2S ∴S
例解:原式=()n
x x x x ++++ 32⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++n y y y 1112
=
()
y
y y x
x x n n 1111111-
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-- =n
n n n y y y x x x --+--++1
111
S n 当当例则1
1
321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-
＝11-+n
练习：求13，115，135，163之和。
解：9
4)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(21971
75153131163135115131=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+
⨯+⨯+⨯=+++
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
例6、数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a
……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）
＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a
＝5
练习：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项） 和对数的运算性质N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++
＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
例7、求5，55，555，…，的前n 项和。
解：∵a n =59(10n -1)
∴S n =59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n -1)
=59[（10+102+103+……+10n）-n]
=（10n＋1-9n-10）
练习：求数列：1，，
，的前n项和。
解：
=
=。