积分变换练习题第一章 Fourier 变换________系 _______专业班级姓名 ______ ____学号 _______§ 1 Fourier 积分§ 2 Fourier 变换一、选择题1．设 f (t ) (t t 0 ) ，则 F [ f (t)][]（A ） 1（B ） 2（C ）ej t（ D ） e jt 0F [ f ( t)]( t t 0 )e i tdte i te i t 0t t 0二、填空题1．设 a0 ， f (t)e at, t 0，则函数 f (t) 的 Fourier 积分表达式为e at , t2a cos tdt0 a 22F ( )[ f (t )]f (t )e i t dt = e at e i t dte at e i t dtFR= lim e ( ai )tdtlime (ai ) tdtRRR( a i )tR( a i )t 0= lim e lim e1122a 2;R(a i ) 0 Ra i Ra ia iaF 1[F()]1 F ( )e itd= 1 a 22a 2 (cost i sin t)d22= 2acos t d 0 a 2 21 2．设 F [ f (t)]( ) ，则 f (t )2F1[()]1( )e i td = 1e i t12223．设 f (t) sin 2 t ，则 F [ f (t)]( )[ (2) (2)]F [ f (t )]f ( t)e i t dt= sin 2 te i t dt1 cos2t e i t dt2 1e i t dt 1(e 2ite 2 it )e i t dt( )[ ( 2) ( 2)]2424．设(t ) 为单位脉冲函数，则(t )cos 2 (t3 )dt 14(t)cos 2 (t)dt cos 2 ( ) 13 34三、解答题1．求下列定积分： (可用《高等数学》的方法做)(1)1(2)1e az sin bzdze az cosbzdz1 i sin bz)dze az(cosbz 0( e a (cosb i sin b) 1)(a a 2 b 211(a ib ) z1a ibee1e az e ibz dze ( a ib ) z dza iba ibib ) ae a cosb be a sin b 1 i ae a sin b be a cosb ba 2b 2 a 2 b 2在原积分中，由于被积函数解析，则I1 1 1e az(cosbz i sin bz)dze ax(cosbx i sin bx)dx e ax e ibxdx,从而1 e az1 e azsin bzdz Im I0cosbzdz Re I ;A,0 t 2．求矩形脉冲函数f (t )0, 其他的 Fourier 变换。
F [ f ( t)]f ( t)e i t dt= Ae i tA(1 e Ai )dti3．求下列函数的 Fourier 积分：t, | t | 1(1) f (t)，0, | t | 1解法一：1F ( )f (t) e i tdt = te i t dt11 it11 i1 i2isinei te ii(cos2122e)；f (t)1 F ( ) e it d1 2i(cossin)e itd221 2i(cossin )(cos ti sin t )d22 sin sin t2cossin t d解法二：由于 f(t) 为奇函数，故由课本P12 页的 (1.12) 式可知，221f (t)f ( )sindsin tdsind sin td0 0211d cos211 1sin tdcoscos dsin td0 021sin12 1sincossin tdtdcossin 02 sin2 cos sin td0,t1,1, 1 t0,(2) f (t)1,0t1,0,1t.解法一： f ( t)为奇函数，从而F () f (t) e i t dt = f (t )(cos t i sin t )dt2i f (t)sin tdt12i cos t 11)2i sin tdt2i (cos00f (t)1 F ()e i t dt =12i (cos1) e i t dt22i(cos1)(cos t i sin t) dt2(1cos)sin t dt解法二：同上题，根据余弦逆变换公式可得：221f (t) f ()sin d sin tdt sin d sin tdt00002cos12 1 cossin tdt tdtsin000sint ,| t |4．求函数 f (t)0, | t|的 Fourier 积分 ,并计算下列积分：sin sin t2sin t ,| t |012d0,| t |解：同上题，f (t)2f ()sin d sin tdt2sin sin d sin tdt 00001[cos(1)cos(1) ]d sin tdt 1sin(1)sin(1)sin tdt11000001sin(1)sin(1)sin tdt 2sin sin tdt2sin sin t112112dt000当 t时，f (0) f (0)0. 从而2sinsin t2 sin t,| t | 01 2d0,| t |e j a5．设 a 为实数，求积分2 d 的值。
(分别讨论 a 为正实数和负实数的情形 )1当 a 0时，R( z)1在上半平面只有一个奇点z i ，从而1 z 2e ia 2 d2 i Res[ R(z)e iaz ,i ] 2i lime iaze a ;1z iz i当 a 0时，e iae ia 2d2 i Res[ R(z) e iaz,i ] 2 i lime iaza1 2dz ie .1z i解法二：参考课本 146 页 Fourier 变换表中的 21，即Fc t]2c ，[e2c2 Re(c) 0取 c=-1，从而F - t]2，则积分[e 21ej ata1 2dF 1[ 12 ]ee 211 t a2t a2e ja 2de a1积分变换练习题第一章 Fourier 变换 ________系 _______专业班级姓名 ______ ____ 学号 _______ § 3 Fourier 变换的性质§ 4 卷积与相关函数一、选择题1．设 F [ f (t )]F ( ) ，则 F [( t 2) f (t )]（A ）F() 2F( )（B ）（ C ） iF ( ) 2F ( )（ D ）[ ]F( ) 2F( )iF ( ) 2F ( )（利用 Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式）2．设 F [ f (t )]F ( ) ，则 F [ f (1t)][]（ A ） F ( )e j（B ） F()e j（C ） F()e j（ D ） F ()e j1 t sf ( s)e i(1 s) (F [ f (1 t )]f (1 t )e i t dtds)e if (s)e i ()sdse iF ()二、填空题1．设 F[ f (t)] 3 ，则 f (t )3e - t122由1 三 -5解法二中的分析可知： F - t] 2 ，- [e 21从而 3F [ e - t ]3 f (t ) 3e - t22122．设 f (t ) e tu(t) ，则 F [ f (t)]。
已知单位阶跃函数u(t) t( )d ，及 Fourier 变换的微分性质： F [ f '(t )]i F [ f (t)]令 g(t ) e tu(t )e tt( )d ，则dg (t)e t t ( )d e t (t ) g(t ) e t (t )，dt即 F [dg (t)]F [ g(t ) e t (t )]F [ g(t )] F [e t (t )]，dt又由 F [dg(t )] i F [ g (t )]，从而dtFF [ e t (t )]e t (t )e i t dt[ g(t)]=i1 i11e (1 i)t 011 i t 1 i三、解答题1．若 F( )F [ f (t)] ，且 a0，证明：s ati F [ f (at )] f (at)e i tdt =f ( s)e2．若 F() F d[ f (t)] ，证明：F ( )d即证： F1[d F ( )]itf (t)d1 (t )e (1 i )t dt1 iF [ f (at)]1F ( )a as ds1 f ( s)ea ds1F( )isa aa aF [ jtf (t )]F1[d F( )] 1 d F ( )e i t d 1 F ( )e i t1F ( ) d e i t dd 2 d 22d1F ()ite i td( it )1F ( )e itd( it ) f (t )22sin3．已知某函数的Fourier 变换为F ( )，求该函数f (t) 。
F ( )sinF ( ) sinF1[F( )]F1[sin ]一方面， F[ f '(t )] i F[ f (t)] i F ( ) F1[ F ()]if；'(t)另一方面， F1[sin ] 1 sine i t d1 e ie i e i t d 12122ie i (1 t )e i ( 1 t ) d(t 1)(t 1) ；4 i 2i从而if '(t)1 (t1)(t 1)f '(t ) 1 (1 t ) (t1)2i2f (t )1t( 1)d t(1)d 1 u(t 1) u(t1)224．若 F( ) F [ f (t)] ，证明： F () F[ f ( t)]证：t sf (s)e i s ( ds) f ( s)e i ( ) s ds F ( )F [ f ( t )]f ( t) e i t dt5．若 f 1(t)e t u(t ),f 2 (t ) sin t u(t) ，求 f 1 (t )* f 2 (t)f 1(t) * f 2 (t )e t u(t)sin t u(t )e u( )sin( t) u(t ) dtts te t te t1 te sin(t)de ( t s) sin sds e s sin sds sin s coss e s 021 sin t cost e t 2积分变换练习题第一章 Fourier 变换________系 _______专业班级姓名 __________ 学号 _______§ 5 Fourier变换的应用综合练习题一、选择题：1．设 F [ f (t )]F ( ) 且当 ttf ( )d0,则F [ 2t时 , g (t) f ( )d ] []（A ）1F ( )（B ） 1F() （C ）1F ()（D ）1F( )2i 2i22ii变换的积分性质： F [ t f (1 F [ f (t )]F [f ( )d ]= 1F [ f (2t )]1iF ( )2ti2i 2最后一个等号由 2（§ §）三 -1得到.3 4 -2．设 F [ f (t )] F ( ) ，则下列公式中， 不正确的是[]（A ） F [ f (t ) f (t )](F ())2（ B ） F [( f (t)) 2 ]1 F()F()2（C ） F [ f (t)ejt] F (0 )（ D ） t f (t ) jF1( )][ FjtF [ f ( t)e] F ( m 0 )1．设 f (t)0, t 0，则 u(t )f (t)et ,t 0参照课本 51 页 (10)， u(t) f (t )f (t) u(t)2．计算积分(t )sin 2tdt 12(t)sin 2 tdt sin 2 t12t23．设 sgntt1, t 0 |t |1, t，则 F [sgn t]0, t 01 e t , tt)df (。