2.3.3 平面向量
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
[解析]　因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.故选B.
[答案]　B
2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )AP → AB → AD →
A ．3
B ．2 C. D ．2
25[解析]　分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)．
∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，
∴可设P .(25cos θ，25sin θ)
则＝(0，－1)，＝(－2,0)，AB → AD →
＝.AP → (25cos θ－2，25sin θ－1)
又＝λ＋μ，AP → AB → AD →
∴λ＝－sin θ＋1，μ＝－cos θ＋1，2515
∴λ＋μ＝2－
sin θ－cos θ＝2－sin(θ＋φ)，2515其中tan φ＝，∴(λ＋μ)max ＝3.12
[答案]　A
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.
[解析]　由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝.12
[答案]　12
4．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两
个动点，且||＝2，则·的最小值为________．EF → AE → BF →
[解析]　设E (0，m )，F (0，n )，
又A (－1,0)，B (2,0)，
∴＝(1，m )，＝(－2，n )．AE → BF →
∴·＝－2＋mn ，AE → BF →
又知||＝2，∴|m －n |＝2.EF →
①当m ＝n ＋2时，·＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.AE → BF →
∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，·取得最小值－3.AE → BF →
②当m ＝n －2时，·＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3.AE → BF →
∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，·取得最小值－3.AE → BF →
综上可知，·的最小值为－3.AE → BF →
[答案]　－3
5．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若＝2，＝λ－BD → DC → AE → AC → AB →
(λ∈R )，且·＝－4，则λ的值为________．AD → AE →
[解析]　解法一：如图，由＝2得＝＋，BD → DC → AD → 13AB → 23AC →
所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，AD → AE → (13AB → ＋23AC → )AC → AB →
13AB → AC → 13AB → 23AC → 23AB → AC → 又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝AB → AC → AB → AC → AD → AE →
83113－4，解得λ＝.311
解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，)，又＝2，所以D ，3BD → DC → (53，233)
所以＝，而＝λ－＝λ(1，)－(3,0)＝(λ－3，λ)，因此·＝AD → (53，233)AE → AC → AB → 3
3AD → AE → 5
3(λ－3)＋
×λ2333＝λ－5＝－4，解得λ＝.113311
[答案]　311
1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．
2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．。