线 性 代 数 试 题(仅供学习交流，勿用与
商业)
一、填空题 (共30分, 每空2分)
1. 若A 为33⨯型的矩阵且C B A c r
r −−→−−−
→−⨯+5232
1
, 则⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡
=A C . 2. 设321,,a a a 为一向量组, 且存在数k 使得133221,,a a ka a ka a ++-线性无关, 则k 的取值为
.
3. 已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=130140002A , 则⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡
=-1A . 4. 设四阶方阵的列分块阵为],,,[ ],,,,[321321c a a a B b a a a A ==, 1|| ,2||-==B A , 则=
+||B A .
5. 设向量组T
T
a a ]1,1,1[,]1,1,1[21-=-=是向量空间V 的一个基底, 向量
b 在该基底下 的坐标向量为T
]1,2[, 则=b ; 又基底21,b b 到21,a a 的过渡矩阵为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3211,
则=
1b ,=
2b , 向量b 在基底21,b b 下的坐标向量为
.
6. 设向量组I:s a a a ,,,21 线性相关, 秩是r , II:t b b b ,,,21 线性无关, 且II 可由I 线性表 示, 则r 与t 的关系为
; s 与t 的关系为
.
7. 设b Ax =是n m ⨯型的非齐次方程组, 1)(-=n A r , 21,u u 是该方程组的两个不 同的已知解, 则其通解为
.
8. 若二次型2
322
21321)()(2),,(x x x x x x x f +++-=, 则其规范形=),,(321y y y g
.
9. 若方阵A 满足O E A A =-+62
, 则A 的特征值可能的取值为
.
10. 设2是三阶方阵A 的一个特征值, 且1)2(=+A E r , 则=
+||A E .
二、判断题: 正确的在题后的括号中填写“对”,错误的填写“错”(共10分,每题1分) 1. 设B A ,都是n 阶非零方阵，若AC AB =，则C B =.（ ） 2. 设B A ,是方阵，O AB =，则B A ,至少有一个不可逆. （ ）
3. 设可逆变换Px y =将二次型Ax x T
化为二次型By y T ，则B A ,相合. （ ） 4. 若方阵A 的特征值都为零, 则O A =. ( )
5. 若矩阵A 的秩为r , 则A 中所有r 阶子阵都非奇异. ( )
6. 若矩阵A 满足E AA A A T
T
==, 则A 为正交矩阵. ( ) 7. 如果A 为负定矩阵, 则,0)(<A tr 且0||<A . ( ) 8. 若A 为实对称矩阵, 则O A O A =⇔=2
. ( )
9. 设实矩阵A 的列向量组是标准正交向量组, 则A 为正交矩阵. ( )
10. 若向量组s a a ,,1 中任意1-s 个向量都线性无关, 则s a a ,,1 也不一定线性无关.( )
三、（10分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111012A ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=311211C ，并且C B AB =-，求矩阵B ． 四、（10分） 1. 化简()
[
]T
T T
T
B
A A BA A
B A B
1
1
2
)(--+++.
2. 当k 满足什么条件时, 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡100
10000200k
k k
k k 为正定矩阵. 五、（10分）求向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20211a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=83742a ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=23113a ,⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11004a 的秩, 一个极大无关
组, 并用所求极大无关组线性表示其余向量.
六、（10分）k 取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++0
22232
212
321321x k x x k kx x x k
x x x
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解.
七、（10分）求正交变换Qy x =将二次型32232221321433),,(x x x x x x x x f +++=化为标
准形, 写出相应的标准形, 并求该二次型的正、负惯性指数. 八、（共10分） 1．设s a a a ,,,21 是n 元向量组, P 是秩为n 的n n ⨯型矩阵, 令
i i Pa b = (s i ,,1 =),
证明s a a a ,,,21 与s b b b ,,,21 的秩相等.
2．设A 是n 阶实对称阵，若存在n 元实向量y x ,使得0>Ax x T
,0<Ay y T , 证明：存在非零的n 元实向量z 使得0=Az z T
.。