2019年高考数学专题：导数中恒成立与存在性问题（解析版）1．设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证：．【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即，，只需证，换元研究函数最值即可.∴，从而．（2）①，则．若，则存在，使，不合题意.∴．取，则．此时．∴存在，使．②依题意，不妨设，令，则．∴．下面证明，即证明，只要证明．设，则在恒成立．∴在单调递减，故，从而得证．∴，即．2．已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，.经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.学试题解析：（1），∵在处取到极值， ∴，即，∴. 经检验，时，在处取到极小值. （2），令，①当时，，在上单调递减.又∵，∴时，，不满足在上恒成立.②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.a.当，即时，在上恒成立， ∴，从而在上单调递增. 又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.b.当，即时，存在，使时，，单调递减；时，，单调递增，∴.又∵，∴，故不满足题意.③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，，∴，在上单调递减.又∵，∴时，，故不满足题意.综上所述，.3．设函数()ln mf x x x =+， m R ∈．（1）当m e =时，求函数()f x 的极小值；（2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数；（3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）极小值2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）由题意原命题等价于()()f b b f a a-<-恒成立，设()ln (0)mh x x x x x =+->，进而转化为()h x 在()0,+∞上单调递减，利用导数，即可求得实数m 的取值范围．试题解析：（1）因为()2'(0)x ef x x x -=>，所以当()0,x e ∈时， ()0f x '<， ()f x 在()0,e 上单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(),e +∞上单调递增；所以当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e =+=.（2）()()3x g x f x -'== 213m xx x -- (0)x >，令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>．设()31(0)3x x x x ϕ=-+>，则()21x x φ-'=+=()()11x x --+．所以当()0,1x ∈时，()0x φ'>，()x φ在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0x φ'<，()x φ在()1,+∞上单调递减；所以()x φ的最大值为()121133φ=-+=，又()00φ=，可知：①当23m >时，函数()g x 没有零点；②当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有1个零点；③当203m <<时，函数()g x 有2个零.所以2m x x ≥-+= 21124x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ (0)x >恒成立，所以14m ≥． 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．4．已知函数()f x 是偶函数，且满足()()220f x f x +--=，当(]0,2x ∈时，()(1)x f x e ax a =+>，当(]4,2x ∈--时，()f x 的最大值为2416e +.（1）求实数a 的值；（2）函数()()344203g x bx bx b =-+≠，若对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使不等式()()12f x g x <恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）2；（2）23384b e ≥+或23384b e ≤--使不等式()()12f x g x <恒成立”等价于“()()max maxf xg x <”，故可将问题转化为求函数()(),f x g x 的最大值或其值域．试题解析： （1）∵()()220f x f x +-=，即()()22f x f x +=，∴()()224f x f x +=+，∴()()44f x f x =+，当(]0,2x ∈时，()(1)x f x e ax a =+>，∴当(]4,2x ∈--时，(]40,2x +∈，∴()()()444444x f x f x e a x +=+=++.又1a >， ∴()4440x f x e a ++'=>恒成立，∴()f x 在(]4,2--上单调递增，∴()()2max 248f x f e a=-=+，令2248416e a e +=+，解得2a =． ∴实数a 的值为2． （2）当()1,2x ∈时，()2x f x e x=+，∴()20x f x e ='+>，∴函数()f x 在()1,2单调递增，∴当()1,2x ∈时，()()224f x f e <=+．又当()1,2x ∈时， ()344203g x bx bx b =-+≠（），∴()()2244410g x bx b b x b =-='-≠（）．①当0b >时，()0g x '>，函数()g x 在区间()1,2x ∈单调递增，∴()()8223g x g b <=+．∵对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使不等式()()12f x g x <恒成立，∴28423e b +≤+解得23384b e ≥+；解得23384b e ≤--； 综上23384b e ≥+或23384b e ≤--． ∴实数b 的取值范围][223333,,8484e e ⎛⎫-∞--⋃++∞ ⎪⎝⎭． 5．设a R ∈,函数()()2x af x x a -=+.（Ⅰ）若函数()f x 在()()0,0f 处的切线与直线32y x =-平行,求a 的值;（Ⅱ）若对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得()()21f x f x <,求a 的取值范围.【答案】（1）1a =±（2）[)0,+∞【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()0f '，解得a 的值;（2）先根据任意存在性含义转化不等式为对应函数最值关系： ()f x 在定义域内不存在最小值,再求导数，根据a 正负讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性以及最小值取法，最后根据最小值情况确定a 的取值范围.学 .试题解析：解:（Ⅰ）函数()()2x af x x a -=+的导函数为()()()33a xf x x a x a +'-=≠-,则函数()f x 在()()0,0f 处的切线斜率为()230f a '=,依题意有233a=,解得1a =±.可得()f x 在(),a -∞-单调递增,在(),3a a -单调递增,在()3,a +∞单调递减,即有()f x 在3x a =取得极大值,当x a >时, ()0f x >;当x a <时,()0f x <.取12,x a x a <≠-即可,当1x a <-时, ()f x 在(),a -∞-单调递减,且11112x x x a a <++<-,()11112f x f x x a ⎛⎫>++ ⎪⎝⎭, 故存在21112x x x a =++,使得()()21f x f x <,同理当1a x a -<<时,令21112x x x a =-+使得()()21f x f x <,则有当0a >时, ()()21f x f x <成立;③当0a <时, ()f x 在(),3a -∞单调递减,在()3,a a -单调递增,在(),a -+∞单调递增,即有()f x 在3x a =处取得极小值,当x a >时, ()0f x >;当x a <时()0f x <,所以()()min 3f x f a =,当13x a =时,不存在2x 使得()()21f x f x <成立,综上可得, a 的取值范围是[)0,+∞.6．已知函数()sinf x a x bx=+的图像在点ππ,33f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为π203x y+=.（Ⅰ）求实数,a b的值;（Ⅱ）当π2x<<时,()()1f x m x>-恒成立,求实数m的取值范围.【答案】（1）1a=, 1b=-;（2）2,π⎛⎤-∞⎥⎝⎦【解析】试题分析：()1求出()f x acosx b='+，根据题意可得1322{3323af bbf aπππ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎛⎫=+⎪'⎝⎭，解出即可得到所以π1322{π3π323af bbf a⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎛⎫=+⎪⎝⎭',解得1a=, 1b=-;（Ⅱ）由（Ⅰ）知()sinf x x x=-,当π2x<<,()()1f x m x>-恒成立等价于sin xmx<恒成立,设()sinπ,0,2xg x xx⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,则()2cos sinx x xg xx-'=,记()cos sinh x x x x=-,()sin0h x x x'=-<,所以()h x在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,()()00h x h<=,故()0 g x'<,所以()g x在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,()π22πg x g⎛⎫>=⎪⎝⎭,所以2πm≤,实数m的取值范围为2,π⎛⎤-∞⎥⎝⎦.。