1不等式与不等式组期末复习讲义常考专题一 不等式的性质主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主．例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )①314x -≥；②1263x +；③136x-；④0xπ；⑤132362x x -+-；⑥2x xy y +≥；⑦0x.A .6个B .5个C .4个D .3个解析：③中1x不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B .例2： 若a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．a m b m +>+ B ．()()2211a m b m +>+ C ．22a b -<-D ．22a b >解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A ．根据不等式的基本性质1，可知a m b m +>+一定成立；B ．根据不等式的基本性质2，∵210m +>，∴()()2211a m b m +>+一定成立；C ．根据不等式的基本性质3，∵102-<，∴22a b-<-一定成立；D ．根据不等式的基本性质3，a ，b 若都为负数，则22a b >不成立．思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除．常考专题二 一元一次不等式(组)的解法解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行．例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：(1)672x x ≤-；(2)()5431,121.25x x x x +<+⎧⎪⎨--≤⎪⎩①②分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把解集在数轴上表示出来．解：(1)解不等式得2x ≥，在数轴上表示如下：(2)解不等式①，得12x <-，解不等式②，得3x ≤， 在数轴上表示如下：故不等式组的解集为12x <-． 思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解．2常考专题三 一元一次不等式(组)的特殊解例4： 若m 是不等式组()218,32163x x x x -<+⎧⎪⎨--<⎪⎩①②的最大整数解．求220161m m m ++++…的值．分析：先求出不等式组的解集，在解集中找出最大整数解，即是m 的值，再把m 的值代入所求代数式求值即可．解：由不等式①，得2x >-． 由不等式②，得0x <．所以不等式组的解集为20x -<<． 解集中最大的整数为1-，所以1m =-．把1m =-代入220161m m m ++++…中，得 原式()()()220161111=+-+-++-…11111=-+-++… 1=．思路归纳 求不等式(组)的特殊解时，先求出解集，再找满足条件的解，一般是求最大(小)整数解，非负(正)整数解，正(负)整数解．常考专题四 求解不等式(组)中的字母参数问题当不等式(组)与方程(组)、字母参数这些知识综合时，要认真理解题意，寻求解决的方法．类型1 已知不等式的一个解，求字母的取值例5： 已知3x =是关于x 的不等式22323ax xx +->的解，求a 的取值范围．分析：先根据不等式的解的定义，将3x =代入不等式，得到32922a +->，解此不等式，即可求出x 的取值范围． 解：∵3x =是关于x 的不等式22323ax xx +->的解，∴32922a +->，解得4a <．思维点拨 本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简单，根据不等式的解的定义得出32922a +->是解题的关键．例6： 已知关于x 的不等式组0,325x a x +≤⎧⎨+>⎩①②的整数解共有3个，求a的取值范围．分析：先求出不等式的解集，用含有a 的代数式表示出来，再根据整数解的个数，确定a 的取值范围．解：由不等式①，得x a ≤-． 由不等式②，得1x >． 因为不等式组有解，所以该不等式组的解集为1x a <≤-． 又因为只有3个整数解，即为2，3，4． 所以a -的取值范围为45a ≤-<， 则54a -<≤-．思维点拨 解此类问题时应特别注意不等式中等号的取舍．3类型2 根据二元一次方程组和解不等式求字母取值例7： 关于x ，y 的二元一次方程组5323,x y x y p+=⎧⎨+=⎩的解是正整数，则整数p 的值为____．解析：把p 看成常数，求出方程组的解，再根据题意转化成关于p 的不等式组，求解即可．解方程组5323,x y x y p +=⎧⎨+=⎩得233,25232p x p y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵x ，y 是正整数，∴2330,25230,2pp -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得232353p <<，∵p 为整数，∴5p =或6或7，又∵x ，y 是正整数，∴6p =时，x ，y 不是整数，不合题意舍去，∴5p =或7．答案：5或7解题方法 本题运用了常量法，常量法是将题中的某一未知字母视为常数，用这个字母表示未知数，再根据未知数的取值范围来确定未知字母的取值．在不等式(组)与方程(组)的综合应用中，常会用到常量法，将方程(组)的问题转化为解不等式(组)，求字母取值的问题．例8： 已知关于x 、y 的的方程组3,26x y x y a -=⎧⎨+=⎩的解满足不等式3x y +<，求实数a 的取值范围．分析：先解方程组，求得x 、y 的值，再根据3x y +<，解不等式即可．解：由3,26x y x y a -=⎧⎨+=⎩可得21,2 2.x a y a =+⎧⎨=-⎩∵3x y +<，∴21223a a ++-<，∴1a <．思维点拨 本题是一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，用a 分别表示出x ，y ，再解不等式是解题的关键．类型3 已知不等式组解集的情况求字母的取值例9： 已知关于x 的不等式组521,0x x a -≥-⎧⎨->⎩①②无解，求a 的取值范围．分析：把a 看成常数，解不等式组，再根据原不等式组无解，求出a 的取值范围．解：解不等式①，得3x ≤， 解不等式②，得x a >，因为该不等式组无解，所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示：所以3a >．当3a =时，代入不等式组，解得3x ≤，且3x >， 此时，不等式组无解，满足题意． 所以a 的取值范围为3a ≥．思维点拨 “3a =”这种特殊情况易被忽视，检验等号是否满足题意在解题时必不可少．4常考专题五 列一元一次不等式(组)解应用题一元一次不等式(组)的应用是中考考查的重点之一，题型丰富多变，内容多与社会热点相联系，既可单独考查，也可与其他知识综合考查．例10： 某校住校生宿舍有大小两种寝室若干部．据统计，该校高一年级男生740人，使用了大寝室55间和小寝室50间，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．(1)求该校的大小寝室每间分别住多少人？(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间，问该校有多少种安排住宿的方案？分析：(1)设该校的大寝室每间住x 人，小寝室每间住y 人，根据题意列出方程组，再解方程组即可；(2)设这些女生入住大寝室a 间，则小寝室()80a -间，由题意可得80a ≤，再根据“高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间”可列出关于a 的不等式组，解不等式组即可．解：(1)设该校的大寝室每间住x 人，小寝室每间住y 人，由题意，得5550740,5055730.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得8,6.x y =⎧⎨=⎩ 答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人．(2)设这些女生入住大寝室a 间，则小寝室()80a -间，由题意，得()86630,80.a a a +-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩解得7580a ≤≤． ∴a 可取75或76或77或78或79或80． 答：共有六种安排住宿的方案．思维点拨 本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，分别找出等量关系与不等关系．思想方法归纳思想方法一 数形结合思想求不等式解集的过程是代数内容，用数轴表示不等式解集的过程，是将代数问题几何化的过程．本章中数形结合思想主要应用于：①将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，或在解不等式组的过程中，在数轴上分别表示各个不等式的解集，并找出公共部分；②利用数轴判断不等式(组)的解集情况，进而求字母取值．例11： 已知关于x 的不等式23x a -<-的解集如图所示，则a 的值为( )A ．0B ．1-C ．1D ．2解析：根据数轴可知不等式的解集为1x <-，∵23x a -<-，∴32a x -<，∴312a -=-，∴1a =． 答案：C思想方法 本题运用了数形结合思想．有关不等式的问题中，有些问题需要我们借助图形反馈的信息来解决．思想方法二 方程思想不等式中的方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换和解决问题．例12： 若不等式组21,23x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，那么5()()11a b +-的值等于____．解析：先用字母a ，b 表示出不等式组的解集：1232a b x ++<<，然后根据已知解集是11x -<<，对应得到关于a 、b 的方程231b +=-，112a +=，解得1a =，2b =-．所以()()()11236a b +-=⨯-=-． 答案：6-思想方法 本题运用了方程思想，根据不等式组的解集构造方程，进而求解，是解决此类问题的基本思路．思想方法三 建模思想本章在解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润问题时，会用到建模思想，由实际问题构造不等式(组)，从而解决问题．例13： 在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一个班不足3幅，但不少于1幅，可列出不等式组，求出其整数解即可．解：(1)该校原有的班数是90518÷=(个) (2)设新学期所增加的班数是x 个．由题意得：()()()()4181751813,4181751811,x x x x ++-+-<⎧⎪⎨++-+-≥⎪⎩ 解得13x <≤．∵x 为整数，∴2x =或3．答：新学期所增加的班数是2个或3个．思想方法 本题运用了建模思想．解这类题的关键是从问题中找出不等关系，建立不等式(组)的模型，求出不等式(组)的解集后，再根据题目的实际情况确定出未知数的具体值．综合压轴探究综合探究 一元一次不等式(组)的综合应用例14： 在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？(2)根据学校实际情况，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．分析：(1)先设每台电脑x 万元，每台电子白板y 万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出x ，y 的值即可；(2)先设需购进电脑a 台，则购进电子白板()30a -台，根据总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出a 的取值范围，再根据a 只能取整数，得出购买方案，然后根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出每种方案的总费用，进行比较，即可得出最省钱的方案．解：(1)设每台电脑x 万元，每台电子白板y 万元，根据题意，得2 3.5,2 2.5x y x y +=⎧⎨+=⎩解得0.5,1.5.x y =⎧⎨=⎩答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．(2)设需购进电脑a 台，则购进电子白板()30a -台，根据题意，得()()0.5 1.53030,0.5 1.53028a a a a +-≤⎧⎪⎨+-≥⎪⎩ 解得1517a ≤≤，a=，16，17．∵a只能取整数，∴15∴有三种购买方案：方案1：购进电脑15台，购进电子白板15台，所需费用为15.5 1.51530⨯+⨯=(万元)；方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，所需费用为⨯+⨯=(万元)．160.5 1.51429方案3：购进电脑17台，购进电子白板13台，所需费用为⨯+⨯=(万元)．170.5 1.51328答：有3种购买方案，购买17台电脑和13台电子白板时费用最低．思维点拨本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量之间的关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意a只能取整数．关于方案设计问题，一般需分情况讨论，另外要检验方案的可操作性．6。