习题6（多维随机变量及联合分布）
一．填空题
1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为
； ； .
概率==)(Y X P .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
18
.012.012.008.01
11
01b a X Y
--，且X 与Y 相互独立，
则=a ；=b .
3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数
=),(y x f ；=≤+)1(Y X P .
4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率
=≤≥)1,2(Y X P .
二．解答题
1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P <
2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022
2
=++Y Xt t 有实根的概率。

3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩
⎨
⎧=,0,),(kx y x f .,
,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P
习题7（多维随机变量函数的分布）
一．填空题
1. 若随机变量X 的概率分布为
1
.04.03.02.02
101p X -，记12+=X Y ，12-=X Z ，则随
机变量Y 与Z 的概率分布列分别为：
； .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
2.02.031.001.021.02.01.011
01-X
Y ，则随机变量Y
X +的概率分布列为.
3. 若随机变量X 的概率函数为
6
.04.01
1P X -，随机变量)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，
则随机变量X Y -与XY 的概率函数分别为：
； .
二．解答题
1. 若随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧
+=,0,)1(2)(2x x f X π .0,0≤>x x 求随机变量X Y ln = 概率密
度函数).(y f Y
2. 若随机变量)1,0(~U X ，记X
e Y =，求Y 的概率密度函数).(y
f Y
3. 若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=,
0,2)(x x f X .,
10其它<<x 求随机变量X Y -=1及2
X Z =的概率密度函数)(y f Y 及)(z f Z .
4. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨⎧=,
0(),(21y x f ,)y
x e y x --+ .,0,0其它>>y x
求随机变量Y X Z +=的概率密度函数).(z f Z
习题8（随机变量的数字特征）
一．填空题
1. 若随机变量X 的概率分布为
1
.03.03.01.02.04
2101P X -，则=)(X E ；
=-)13(X E ；=)(X D .
2. 若X 的概率密度为)(,2
1)(+∞<=
-x e x f x
，则=)(X D . 3. 若随机变量X 的分布函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧=,1,4/,
0)(x x F ,440,0>≤<≤x x x 则数学期望
=)(X E ；方差=)(X D .
4. 若随机变量X 与Y 相互独立，且)1,1(~-U X ，)4(~e Y ，则
=+)(Y X E ；=)(XY E ；=+)(Y X D .
5. 若相互独立的随机变量X 与Y 满足1)()(==Y E X E ，2)(=X D ，4)(=Y D ，则
=+])[(2Y X E .
二．选择题
1. 若随机变量X 服从二项分布),(p n B 则下列式子中正确的是（ ）.
① np X E 2)12(=-； ② 14)12(+=+np X E ； ③ 1)1(4)12(--=-p np X D ； ④ )1(4)12(p np X D -=-.
2. 若随机变量X 与Y 相互独立，且1)()(==Y D X D ，则=-)24(Y X D （ ）.
① 20； ② 12； ③ 6； ④ 2.
3. 若随机变量X 服从区间)4,0(上的均匀分布，则=)(X
e E （ ）.
① 2e ； ② 4
e ； ③ )1(44-e ； ④ )1(441-e
三．解答题
1. 若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧+=,
0)(a x f ,
2cx bx + .,10其它≤≤x
且21)(=X E ，20
1)(=X D ，求常数.,,c b a
2. 若二维随机变量),(Y X .在圆域122≤+y x D ：上服从均匀分布，求
).(),(),(XY D XY E X E
3. 在国际市场上，每年对我国某种产品出口的需求量X （单位：t ）是一个随机变量，且
)4000,2000(~U X .若每出口1（t ）可得外汇3万元，如果销售不出去，每吨需要保养费1
万元。

问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？
习题9（协方差，相关系数）
一．填空题
1. 若随机变量X 服从区间)1,1(-上的均匀分布)1,1(-U ，则X 的k 阶中心矩
=
)(X k μ.
2. 若随机变量X 与Y 满足3)()(==Y D X D ，相关系数2
1
),(-
=Y X R ，则=-)(Y X D ；=+)23(Y X D .
3. 若随机变量X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则协方差=),cov(Y X .
二．选择题
1. 若随机变量X 与Y 满足2
1X
Y -
=，则相关系数=),(Y X R （ ） ① 1； ② -1； ③ 0.5； ④ -0.5.
2. 随机变量X 与Y 的协方差0),cov(=Y X 是X 与Y 相互独立的（ ）条件.
① 充要； ② 充分； ③ 必要； ④ 即非充分又非必要.
三．解答题
1. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布列为 8
/18/18/11
8/108/108
/18/18/11
1
01--X
Y
，证明X 与Y 不相关，
但X 与Y 不相互独立。

2. 盒子中装有标号为1，2，2的三只球，不放回随机取两次，每次取一球。

用X 与Y 分别表示第一、二两次取到球的号数，求相关系数).,(Y X R
3. 若二维随机变量),(Y X 服从区域1≤+y x .上的均匀分布，求).,(Y X R
4. 若二维随机变量),(Y X 的概率密度⎩
⎨⎧=,0,8),(xy y x f .,
0,10其它x y x ≤≤≤≤
求相关系数).,(Y X R。