二次根式
题型一 二次根式的定义
例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值．
（2）当x __________时，式子3
1
-x 有意义．
题型二 二次根式有意义的条件
例2、当x 时，二次根式1x +有意义。
例3、已知x 、y 为实数，22991
3
x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值．
例4、已知334y x x =-+-+，求
23
8163y y xy ++-的值。
例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简(
)
(
)
2
2
223
23
2a b a ab b +-
---+
例6、计算
（1）()
13218---+ （2）()211111x x x ⎛⎫-•- ⎪-+⎝⎭
（3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2
2
22d
c ab
d c ab +-＝______．
例7、化简求值 （1）化简：()
2
2a a b c a b c -++-++
（2）先化简再求值：2
22
11xy x y x y x y ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中21,21x y =+=-
（3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
（4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1
(2-+x
x 等于（ ）
（A ）
x 2 （B ）－x
2
（C ）－2x （D ）2x （5）化简a
a 3
-(a ＜0)得（ ）
（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
（
6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ）
（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---
题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A （2）x 8，
3
1
，29x +都不是最简二次根式．（ ）
题型五 二次根式的乘除法
例9、已知(m ⎛=⨯- ⎝⎭
，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5
例10、计算
（1）（235+-）（235--）
（2）（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（3）（a 2m n －m
ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n
（4）（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（7
题型六 分母有理化
A ．a=b
B ．ab=1
C ．ab=-1
D ．a=-b
A.题型七 同类二次根式
A.（2）ab 、
3
1b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．（ ）
题型八 二次根式的加减法 例15、计算
－7114-－7
32
+
（3
（5）75.0125.2041
12
484--+- （6）
题型九二次根式的混合运算 例16、计算
（1
（3）-
（4）（a 2m n －m
ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n ；
（5）（25＋1）（
211+＋321+＋431+＋…＋100
991
+）．
题型十 二次根式的化简求值
（2
（3）已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值．
（4）已知：,x y 为实数，且13y
x -+，化简：3y -
（5）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
（6）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
（7）若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值．
课后作业
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（）
A
、 B、 C、 (a≥1) D、
2．二次根式(-3)2的值是（）
（A）-3 （B）3或-3 （C）3 （D）9
3．下列各式计算正确的是（）
（A）23+42＝6 5 （B）27÷3＝3 （C）33+32＝3 6 （D）(-5)2＝-5
4．在二次根式①②③④中最简二次根式是（）
（A）①②（B）③④（C）①③（D）①④
5．x）
（A）x＞1 （B）x≥1 （C）x＜0 （D）x≤0
6．计算8－（1－2）的结果是（）
（A）32-1 （B）32＋1 （C）2-1 （D）2＋1
7．已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，是一个（）（A）非负数（B）正数（C）负数（D）以上答案均不对
8．下列各式中，一定能成立的是（）
A．3
3
9
2-
•
+
=
-x
x
x B．2
2)
(a
a=
C．1
1
2
2-
=
+
-x
x
x D．2
2)5.2
(
)5.2
(=
-
9．如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，则
的值为
2
)
(b
a
b
a+
+
-（） A．b2
- B．b2 C．a2 D．a2
-
b O
3x1-
a2
-
a
10.
n 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 二、填空题（每题3分，共24分）
11．① (2 3 )2＝ ； ②．①=-2)3.0( ； 12．比较大小：4 3 5 2 ； 14．若1＜x ＜2，则化简
= . 1520x y +-=，则_________x y -=．
16的整数部分是a ，小数部分是b ，计算+b 的值为_________。
17.若m<0，则332||m m m ++= 。
18.已知： ,5
1
4513,413412,3
1
2311=+=+
=+
当1≥n 时，第n 个等式可表示为 。
三、解答题：(66分) 19．化简：（6分）
（1）500 （2）n m 218
20．计算（30分）
（1） (8＋23)× 6 （2） (80- 40)÷ 5
（3）（23+6）（23-6） （4）
)323
1
25.0()4881(----22)1()2(x x ---
（5）284)23()21(01--+-⨯- （6） 20112010)
23()23(+⋅-
23．（8分）已知2x =求代数式246x x --的值是多少
22．（10分）若x ，y 是实数，且31
4114+-+-=x x y ，求x y
3的值。
24．（12分）阅读并完成下面问题：
① 12)12)(12()
12(1211
-=-+-⨯=+
② ;
23)23)(23(2
3231
-=-+-=+ ③ 25)25)(25(2
5251-=-+-=+
试求：
（1）671
+= ；（2）17231
+= ；
（3）n n ++11
= （n 为正整数），本题给出求解过程。